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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Sa 25.06.2011 | | Autor: | moerni |
Hallo.
Ich sollte ein Beispiel für eine stetige Abbildung finden, die nicht offen ist. Bei allen Beispielen, die mir eingefallen sind, ist mir aufgefallen, dass die Umkehrfunktion nicht stetig ist (Bsp [mm] x^2, [/mm] usw.).
Deshalb: gibt es einen Satz, der sagt: eine Funktion ist genau dann nicht offen, wenn ihre Umkehrfunktion nicht stetig ist. oder so.....? Wenn ja, kennt jemand einen link dazu?
lg moerni
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Das erste Problem ist, dass ja nicht unbedingt jede Funktion eine Umkehrfunktion haben muss...
Dein Beispiel, [mm]x^2[/mm].
Wie kommst du darauf, dass die Umkehrfunktion nicht stetig ist?
Die Umkehrfunktion von [mm]x^2[/mm] währe - je nach Definitionsbereich - entweder [mm]\sqrt{x}[/mm] (und die ist stetig) oder überhaupt nicht definiert.
Der Satz, den du gern haben würdest, sagt "nicht offen [mm]\gdw[/mm] Umkehrfunktion nicht stetig"
Das ist ja vollkommen äquivalent zu
"offen [mm]\gdw[/mm] Umkehrfunktion stetig"
Das heißt du brauchst eine offene Funktion , die einfach keine Umkehrfunktion hat (und wenn die Umkehrfunktion nicht existiert kann sie ja auch schlecht stetig sein) und schwupp ist der Satz kaputt...
Als Beispiel würde mir [mm]f : \IR\backslash \{0\} \to \IR, x \mapsto \frac{1}{|x|}[/mm] einfallen.
Wenn mich nicht alles täuscht ist diese Funktion offen, aber sie hat offensichtlich keine Umkehrfunktion (da sie nicht bijektiv ist).
Somit ist der Satz in der Form wie du ihn da hast falsch und wird somit wohl auch nirgends stehen.^^
Also guck nochmal was genau du haben möchtest und formuliere den gewünschten Satz vielleicht noch ein wenig um; unter Beachtung der Tatsache dass nicht alles umbedingt umkehrbar sein muss... ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 So 26.06.2011 | | Autor: | moerni |
Vielen Dank erstmal für deine tolle Antwort! Hat mir schon sehr weitergeholfen. Und wenn ich das so formuliere: eine STETIGE Abbildung ist offen genau dann wenn die Umkehrfunktion nicht stetig ist? Klappt es dann?
lg moerni
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Wieder das gleiche Problem:
Es kann durchaus sein, dass die Umkehrabbildung garnicht existiert...
Also so lange in deinem Satz nicht irgendwo ein "Eine bijektive Abbildung" oder "wenn die Umkehrabbildung existiert" oder so drinn steht kann der garnicht stimmen.
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