offen, abgeschlossen, kompakt, < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Sa 07.05.2005 | | Autor: | wee |
Hallo,
ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:
Beweise oder widerlege:
a) Die Menge {z [mm] \in \IC [/mm] : |z-1|<2|z-3|} ist offen
b) Die Menge [mm] {(z_{1}, z_{2}) \in \IC : |z_{1}| < 1, z_{1}*z_{2}=1} [/mm] ist abgeschlossen
c) Die Menge {( x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] : [mm] x^2-y^2 [/mm] =1} ist zusammenhängend
d) Die Menge {z [mm] \in \IC [/mm] : [mm] |1+z^2| \le [/mm] 1} ist kompakt
Leider ist mir die Theorie hinter den Aufgaben noch nicht klar, kann mir also jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:51 So 08.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo wee!
> a) Die Menge [mm] $\{z \in \IC : |z-1|<2|z-3|\}$ [/mm] ist offen
Ja. Hast du eine Idee, warum das so sein könnte?
> b) Die Menge [mm]\{(z_{1}, z_{2}) \in \IC : |z_{1}| < 1, z_{1}*z_{2}=1\}[/mm]
> ist abgeschlossen
Betrachte mal die Folge [mm] $\left( 1- \frac{1}{n}, \frac{n}{n-1} \right)_{n \in \IN, n \ge 2}$.
[/mm]
> c) Die Menge [mm] $\{( x,y) \in \IR^2 : x^2-y^2=1\}$ [/mm] ist
> zusammenhängend
Nein, da diese Menge eine disjunkte Vereinigung zweier nichtleerer und offener (bezüglich der Teilraumtopologie) Teilmenge ist, nämlich:
[mm] $A=\{(x,y) \in \IR^2\, : \, x^2-y^2=1,\, x>0\}$
[/mm]
und
[mm] $B=\{(x,y) \in \IR^2\, : \, x^2-y^2=1,\, x<0\}$
[/mm]
> d) Die Menge [mm] $\{z \in \IC : |1+z^2| \le 1\}$ [/mm] ist kompakt
Ja, denn sie ist offenbar beschränkt und abgeschlossen. Zeige das mal bitte selber im Detail.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 So 08.05.2005 | | Autor: | wee |
Danke für die Antwort, mir ist jetzt der Themenkomplex klarer geworden.
Bei b) habe ich aber noch eine Nachfrage:
Man nimmt sich die Folge, zeigt, dass sie in der Menge enthalten ist und prüft ob sie abgeschlossen ist. Dazu betrachtet man das Komplement. Nur weis ich nicht wie ich das Komplement formulieren soll. Ist das die Menge ohne die Folge, oder ist das ganz [mm] \IC [/mm] ohne die Folge ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:58 Mo 09.05.2005 | | Autor: | c.t. |
Hollo wee,
du musst das Komplement gar nicht betrachten, denn da gibt es einen Satz (schau mal genau deine Unterlagen durch) wonach eine Menge abgeschlossen ist, wenn für eine Folge der Grenzwert auch in der Menge enthalten ist. Ist das hier der Fall ?
Die Folge knvergiert gegen 1. Aber ist die Bedingung [mm] z_{1}*z_{2} [/mm] für n=1 noch erfüllt?
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