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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:48 So 04.09.2005 | | Autor: | alphaone |
Meine Aufgabe ist es die Differentialgleichung
dx/dt = -5/2*(2/3*(1-x^(6/5)))^(1/2) mit x=1 an t=0 bis x=0 mit Hilfe des Eulerverfahrens zu lösen. Was an sich für mich kein Problem darstellt. Nun ist jedoch noch nach einem zweiten Lösungsweg gefragt bei dem ich x=(sin(y))^(5/3) substituieren soll und dann numerisch integrieren. Die Substitution liefert die Differentialgleichung dy/dt = -(3/2)^(1/2)*(sin(y))^(-2/3). Meine Frage ist nun inwieweit diese Substitution das Problem vereinfacht oder verändert haben soll, da meiner Meinung nach dise Gleichung numerisch zu integrieren bedeutet, das Euler Verfahren(oder ähnliches Verfahren) auf sie anzuwenden. Doch dies entspricht doch exakt dem ersten Lösungsweg und da in beiden Fällen der Computer die Rechnung übernimmt ist mir nicht klar warum ich die Substitution überhaupt durchführen soll da sie an der Struktur des Lösungsweges meiner Ansicht nach nichts ändert.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo alphaone,
Hast Du denn schonmal das Eulerverfahren auf deine DGL losgelassen? Was kommt raus?Um das zu wissen brauchst Du nur die ersten paar werte durchzurechnen.
> Meine Frage ist nun inwieweit diese Substitution das
> Problem vereinfacht oder verändert haben soll, da meiner
> Meinung nach dise Gleichung numerisch zu integrieren
> bedeutet, das Euler Verfahren(oder ähnliches Verfahren) auf
> sie anzuwenden.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die Transformation/Integration soll vermutlich eindeutige Lösbarkeit sichern. Die Ausgangsgleichung ist nicht L-Stetig in x für x=1 somit nicht zwingend eindeutig lösbar.
Ich sehe auch noch nicht wie man auf die transformierte Gleichung kommt. Du kannst ja noch ein paar Zwischenschritte mit angeben.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Mo 05.09.2005 | | Autor: | alphaone |
HI Mathemaduenn
Für den ersten Schritt beim Euler Verfahren muss ich bei der unsubstituierten Gleichung ohnehin ersteinmal anders vorgehen so dass das Problem an x=1 nicht auftritt. Denn würde ich das Eulerverfahren stur auf die Gleichung anwenden so würde für den ersten Schritt bei dem [mm] x_{0}=1 [/mm] gilt folgen dass [mm] x_{1}=1, x_{2} [/mm] und so weiter ... , da dx/dt = 0 an dieser Stelle gilt. Daher muss ich ohnehin [mm] x_{1} [/mm] per Reihenlösung und nicht mit dem Euler-Verfahren finden (was auch ohne Probleme machbar war) und somit entfällt das Problem an x=1. der Wert der letzlich gesucht wird ist der Wert für t an dem x(t)=0. Sowohl die alte als auch die substituierte Form der Gleichung geben hier als Wert 0.916 bis 0.917 . Was an sich ok ist, jedoch ist mir nicht klar wo sich beide Verfahren unterscheiden sollen...
Auf die substituierte DG komme ich indem:
x=(sin(y))^(5/3) daraus folgt dx/dt=5/3*(sin(y))^(2/3)*cos(y)*dy/dt
daraus folgt:
5/3*(sin(y))^(2/3)*cos(y)*dy/dt=-5/2*(2/3*(1-(sin(y))^((5/3)*(6/5))))^(1/2)
[mm] =-5/2*(2/3*(cos(y))^2)^{1/2}=-5/2*(2/3)^{1/2}*cos(y)
[/mm]
daraus folgt:
dy/dt=-(3/2)^(1/2)*(sin(y))^(-2/3)
Bin dankbar für jegliche Verbesserungen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Do 29.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Alexander
Deine DGL hat keine eindeutige Lösung! Ich versteh auch nicht, warum du mit dem Anfangswert x(0)=1 nicht mit dem Eulerverfahren auf x(t)=1 kommst, also x(1)=1. Denn du fängst ja mit x'=0 an, wie kommst du davon weg? oder arbeitest du mit der 2. Ableitung?
Wenn man transformiert und durcht cos(y) dividiert verliert man diese Lösung, und das denk ich ist der Grund für die Transformation.
Einfacher überlegt man sich das an [mm] x'=(1-x^{2})^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
auch hier die konstante Lösung x=1, die man auch bei irgendeiner stelle, wo die Fkt 1 ist einschieben kann. d.h. keine eindeutige Lösung!
mit x=siny wird daraus cosy*y'=cosy hat immer noch die Lösung cosy=0 [mm] y=\pi/2 [/mm] usw. aber die vereinfachte Gl y'=1 hat dann ne eindeutige Lösg bei gegebenem Anfangswert.
Vielleicht soll die Aufgabe nur zeigen, dass numerische Verfahren nur was taugen, wenn die Lösg. eindeutig ist!
gruss leduart
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