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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:05 Sa 16.05.2009 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | es sei die nullstellenaufgabe f(x)=0 mitder funktion f(x)=xsinx-a, [mm] 0\le a\le1, 0\le x\le \pi, [/mm] gegeben.
1. zeigen sie, dass f(x) auf [mm] [0,\pi] [/mm] zwei nullstellen [mm] x_0
2. berechnen sie [mm] x_0, x_1 [/mm] für a=0,5 auf 3 dezimalstellen nach dem komma genau |
hallo!
für die ermittlung der anzahl der nullstellen habe ich die kartesische zeichenregel kennengelernt--die funktioniert jedoch nur bei polynomen. ich hatte mir deshalb gedacht, sinx in ein polynom umzuformen nach satz von taylor...aber da weiß ich dann nicht, bei welchem grad ich abbrechen kann, damit die anzahl der NS stimmt. wie könnte ich 1. noch zeigen??
und bei 2. ist das problem, dass man die erste NS nicht so einfach sehen kann! also muss doch ein iterationsverfahren ran, oder? ich hatte mich erst für das fixpunktverfahren, dann für newton entschieden--doch meiner meinung nach ist die konvergenzbedingung bei keinem der beiden erfüllt, oder? wie sollte ich vorgehen??
vielen dank schonmal,
tschau
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Sa 16.05.2009 | | Autor: | nikito |
| Aufgabe | Aufgabe
es sei die nullstellenaufgabe f(x)=0 mitder funktion f(x)=xsinx-a, $ [mm] 0\le a\le1, 0\le x\le \pi, [/mm] $ gegeben.
1. zeigen sie, dass f(x) auf $ [mm] [0,\pi] [/mm] $ zwei nullstellen $ [mm] x_0
2. berechnen sie $ [mm] x_0, x_1 [/mm] $ für a=0,5 auf 3 dezimalstellen nach dem komma genau |
Das es "genau" zwei gibt? Also ich kenne zwar die kartesische Zeichenregel nicht aber wenn man sich die Definition des Sinus ansieht stellt man ja fest das es ein Polynom ist.
sinus(x) = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(-1)^i}{(2*i+1)!}*x^{2*i+1}
[/mm]
vielleicht hilft dir das ja weiter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Sa 16.05.2009 | | Autor: | gigi |
genau diese schreibweise habe ich ja für den sinus auch gemeint, is ja die taylorentwicklung, oder?! bei der kart.zeichenregel schließt man von der anzahl der vorzeichenwechsel auf die nullstellenanzahl--und so kann ich die genaue anzahl der vzw für sinx ja nicht bestimmen!
evtl noch jemand nen tipp für mich??
danke und grüße
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Hallo gigi,
a) machst du ganz banal mit dem Zwischenwertsatz, indem du dir einfach mal die Stellen x=0, [mm] x=\bruch{\pi}{2}, x=\pi [/mm] anschaust.
Zu b): Wenn gar nix hilft, Intervallschachtelung, da du ja zu beiden Nullstellen nach a) nun Intervallgrenzen hast.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:24 So 17.05.2009 | | Autor: | gigi |
a) ja, mit dem satz sehe ich, dass im intervall [0, [mm] \pi/2] [/mm] und [mm] [\pi/2, \pi] [/mm] je eine NS liegen muss aufgrund des vorzeichenwechsels. aber genügt das? könnte es nicht auch mehr NS geben? oder begründet man das mit der amplitude vom sinus??
b) ist das bisektionsverfahren das gleiche wie die intervallschachtelung? dann habe ich das jetzt gemacht und finde auch die richtigen NS mit [mm] x_1 \approx [/mm] 0.741 und [mm] x_2\approx [/mm] 2.973. ich war mir nicht sicher, wann ich das verfahren abbrechen darf- wenn ich auf 3 dezimalstellen genau bestimmen soll, muss ich die intervalle solange verkleinern, bis die grenzen auf 4 stellen genau übereinstimmen, oder?
grüße und danke
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Hallo gigi,
also da bei a) nur steht "zeigen sie, dass f zwei Nullstellen hat", bist du fertig, denn das hast du gezeigt. Dort steht nicht "genau zwei Nullstellen".
Zu b): Also du orientierst dich jetzt am Ergebnis, was ja eigentlich schlecht ist, denn was machst du, wenn kein Ergebnis vorgegeben ist? Aber erstmal vorweg: Ja, du hast 3 Dezimalstellen, wenn deine Ergebnisse bis auf 3 Nachkommastellen übereinstimmen.
Aber zurück zum Problem: Du kannst dir ja mal überlegen, ab wann eine Dezimalstelle beim Bisektionsverfahren gesichert ist.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 So 17.05.2009 | | Autor: | gigi |
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> Aber zurück zum Problem: Du kannst dir ja mal überlegen, ab
> wann eine Dezimalstelle beim Bisektionsverfahren gesichert
> ist.
ich weiß nicht, was meinst du? kannst du mir die antwort nicht verraten??
und wenn ich mich fälschlicherweise am ergebnis orientiert habe--woran sollte ich mich denn orientieren?
>
> MfG,
> Gono.
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> ich weiß nicht, was meinst du? kannst du mir die antwort
> nicht verraten??
> und wenn ich mich fälschlicherweise am ergebnis orientiert
> habe--woran sollte ich mich denn orientieren?
Nunja, was für Werte hast du denn beim Bisektionsverfahren, mit denen du rechnen kannst?
Wenn du Verfahren zur Nullstellenberechnung hattest, habt ihr bestimmt auch kennengelernt, wie groß der Fehler nach dem n-ten Schritt maximal ist
(beim Bisektionsverfahren [mm] \bruch{|b-a|}{2^n}, [/mm] warum?)
Wie groß darf der Fehler dann maximal sein, damit die dritte Nachkommastelle gesichert ist?
Und als zweites Schau dir mal die Intervallgrenzen im n-ten Schritt an, was sagen die dir über die Dezimalstellen deiner Nullstelle?
MfG,
Gono.
> >
> > MfG,
> > Gono.
> >
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:17 So 17.05.2009 | | Autor: | abakus |
> a) ja, mit dem satz sehe ich, dass im intervall [0, [mm]\pi/2][/mm]
> und [mm][\pi/2, \pi][/mm] je eine NS liegen muss aufgrund des
> vorzeichenwechsels. aber genügt das? könnte es nicht auch
> mehr NS geben? oder begründet man das mit der amplitude vom
> sinus??
Hallo,
zeige einfach, dass die Funktion y=x*sinx im betrachteten Intervall
- zwei Nullstellen hat
- dazwischen genau eine Extremstelle besitzt
- bis zur Extremstelle monoton wachsend und ab der Extremstelle monoton fallend ist.
Das alles zusammengenommen schließt die Existenz von mehr als zwei Nullstellen der Funktion y=x*sinx -a mit den genannten Bedingungen aus.
(Ach so, natürlich unter der Voraussetzung der Stetigkeit von x*sinx).
Gruß Abakus
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> b) ist das bisektionsverfahren das gleiche wie die
> intervallschachtelung? dann habe ich das jetzt gemacht und
> finde auch die richtigen NS mit [mm]x_1 \approx[/mm] 0.741 und
> [mm]x_2\approx[/mm] 2.973. ich war mir nicht sicher, wann ich das
> verfahren abbrechen darf- wenn ich auf 3 dezimalstellen
> genau bestimmen soll, muss ich die intervalle solange
> verkleinern, bis die grenzen auf 4 stellen genau
> übereinstimmen, oder?
>
> grüße und danke
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