nullfunktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Mi 27.06.2007 | | Autor: | ttgirltt |
| Aufgabe | Gegeben sei eine stetige Funktion f : [a, b] [mm] \to \IR^{+}_{0} [/mm] mit
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=0. [/mm] Zeigen sie das f(x)=0 für alle [mm] x\in [/mm] [a,b] |
Hallo.
Mh so ganz finde ich hier keinen Ansatz. Wenn [a,b] auf [mm] \IR^{+}_{0}
[/mm]
abgebildet werden. Mh warum kann das Integral nur 0 werden wenn f(x)=0 ist. Müsste doch für alle a=b gelten oder?
Wenn nicht wie zeig ich das es nur für f(x)=0 gilt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Mi 27.06.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Mh warum kann das Integral nur 0 werden
> wenn f(x)=0 ist. Müsste doch für alle a=b gelten oder?
> Wenn nicht wie zeig ich das es nur für f(x)=0 gilt.
man sollte wohl noch $a < b$ voraussetzen, da die aussage für $a = b$ falsch wäre. nun nimm an, dass die funktion nich überall null ist, das heißt es gibt ein [mm] $x_0 \in [/mm] [a, b]$ mit [mm] $f(x_0) [/mm] = [mm] y_0 [/mm] > 0$. probiere nun mit hilfe der stetigkeit zu zeigen, dass die funktion in einer kleinen umgebung von [mm] $x_0$ [/mm] größer als etwa [mm] $\frac{y_0}{2} [/mm] > 0$ ist. schätze dann das integral, unter ausnutzung der tatsache, dass $f$ nur nicht-negative werte annimt, ab und zeige somit, dass dann auch das integral einen positiven wert, also insbesondere nicht $0$, annimmt.
schau mal wie weit du mit dieser beweisskizze schon kommst und frage dann nochmal nach, wenn du nicht weiterkommst.
grüße
andreas
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Falls du nicht damit klar kommst, obwohl der Ansatz vollkommen richtig ist: Das ganze steht auch mit Beweis als Satz in Forster "Analysis 1".
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