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Hallo zusammen, ich beschäftige mich zurzeit mit dieser Aufgabe:
Es sei (V,||*||) ein normierte Vektorraum und [mm] K\subset [/mm] V kompakt, [mm] A\subset [/mm] K. Zu zeigen ist, dass A genau dann kompakt ist, wenn A abgeschlossen ist.
Mein Ideen wären hierzu,
A wäre genau dann kompakt, wenn jede offene Überdeckung [mm] {F_{i}; i \in I} [/mm] von A eine endliche Teilüberdeckung besitzt, d.h., es gibt ein endliches J [mm] \subset [/mm] I mit A [mm] \subset U_{j\inJ}F_{j}
[/mm]
Kann ich davon ausgehen, dass x ein Häufungspunkt von A ist, sodass eine Folge [mm] (x_{k})_{k}\ge [/mm] 1 in A mit [mm] x_{k} \to [/mm] x für k [mm] \to \infty [/mm] geht. Und somit konvergiert auch jede Teilfolge gegen x, somit ist A abgeschlossen.
Ist das so richtig oder bin auch der falschen Spur ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:26 Di 10.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen, ich beschäftige mich zurzeit mit dieser
> Aufgabe:
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> Es sei (V,||*||) ein normierte Vektorraum und [mm]K\subset[/mm] V
> kompakt, [mm]A\subset[/mm] K. Zu zeigen ist, dass A genau dann
> kompakt ist, wenn A abgeschlossen ist.
>
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> Mein Ideen wären hierzu,
>
> A wäre genau dann kompakt, wenn jede offene Überdeckung
> [mm]{F_{i}; i \in I}[/mm] von A eine endliche Teilüberdeckung
> besitzt, d.h., es gibt ein endliches J [mm]\subset[/mm] I mit A
> [mm]\subset U_{j\inJ}F_{j}[/mm]
Du meinst sicher: [mm]A \subset\bigcup_{j \in J}^{}F_{j}[/mm]
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> Kann ich davon ausgehen, dass x ein Häufungspunkt von A
> ist, sodass eine Folge [mm](x_{k})_{k}\ge[/mm] 1 in A mit [mm]x_{k} \to[/mm]
> x für k [mm]\to \infty[/mm] geht. Und somit konvergiert auch jede
> Teilfolge gegen x, somit ist A abgeschlossen.
>
> Ist das so richtig oder bin auch der falschen Spur ?
So richtig falsch ist das nicht, aber schlampig. Du setzt also voraus, dass A kompakt ist und nimmst eine konvergente Folge [mm] (x_k) [/mm] aus A her mit Gernzwert x.
Zu zeigen ist: x [mm] \in [/mm] A.
Da A kompakt ist, enthält [mm] (x_k) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (x_{k_j}) [/mm] mit [mm] \limes_{j\rightarrow\infty}x_{k_j} \in [/mm] A.
Wegen x= [mm] \limes_{j\rightarrow\infty}x_{k_j}, [/mm] ist x [mm] \in [/mm] A.
Das war die eine Richtung.
Zeigen musst Du noch: A abgeschlossen [mm] \Rightarrow [/mm] A kompakt.
FRED
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Kann ich davon ausgehen, dass A vollständig ist und a [mm] \in \overline{A} [/mm] existiert. Dann gibt es eine Folge [mm] (x_{j}) \in A^{\IN} [/mm] mit [mm] (x_{j})\to [/mm] a
Insbesondere ist [mm] (x_{j}) [/mm] Cauchy- Folge, konvergiert gegen einen Punkt a* [mm] \in [/mm] A
Notwendigerweise ist dann a*=a, also [mm] a\in [/mm] A also A abgeschlossen.
Sei nun umgekehrt A abgeschlossen, und sei [mm] (x_{j})\in A^{\IN} [/mm] Cauchyfolge.
Da (V, ||*||) als endlich dimensionaler Raum vollständig ist, konvergiert [mm] (x_{j}) [/mm] gegen einen Punkt a [mm] \in [/mm] V; wegen Abgeschlossenheit von A gilt [mm] a\in [/mm] A. Also ist A vollständig.
Kann ich den ersten Teil dieser Aufgabe auch so lösen ?
Danke im Voraus!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Mi 18.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Kann ich davon ausgehen, dass A vollständig ist
Nein, das kannst Du nicht !
> und a [mm]\in \overline{A}[/mm]
> existiert.
Wenn A nichtleer ist gibt es solch ein a immer !!!
> Dann gibt es eine Folge [mm](x_{j}) \in A^{\IN}[/mm] mit
> [mm](x_{j})\to[/mm] a
> Insbesondere ist [mm](x_{j})[/mm] Cauchy- Folge, konvergiert gegen
> einen Punkt a* [mm]\in[/mm] A
> Notwendigerweise ist dann a*=a, also [mm]a\in[/mm] A also A
> abgeschlossen.
> Sei nun umgekehrt A abgeschlossen, und sei [mm](x_{j})\in A^{\IN}[/mm]
> Cauchyfolge.
> Da (V, ||*||) als endlich dimensionaler Raum vollständig
> ist,
Wer sagt, dass dimV < [mm] \infty [/mm] ist ???
> konvergiert [mm](x_{j})[/mm] gegen einen Punkt a [mm]\in[/mm] V; wegen
> Abgeschlossenheit von A gilt [mm]a\in[/mm] A. Also ist A
> vollständig.
>
>
> Kann ich den ersten Teil dieser Aufgabe auch so lösen ?
nein.
Die Richtung " A abgeschlossen $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ A kompakt" kannst Du auf 2 Arten beweisen:
1. mit Folgen: sei [mm] (x_k) [/mm] eine Folge in A. Zeige: [mm] (x_k) [/mm] enthält eine konvergente Teilfolge, deren Limes zu A gehört.
2. mit Überdeckungen: sei [mm] \mathcal{G}=\{G_i:i \in I\} [/mm] eine offene Überdeckung von A. Dann ist [mm] \mathcal{G} \cup \{V \setminus A\} [/mm] eine offene Überdeckung von K.
Jetzt Du.
FRED
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> Danke im Voraus!!
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