normierte Darstellung < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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hallo liebe Forumfreunde,leider komme ich bei folgender Aufageb nicht weiter,deshalb bitte ich euch um eure hilfe.
Aufgabe:
[mm] A=\pmat{ -1 & -1 \\ 2 & 1 }
[/mm]
Bestimme dazu die Eigenwerte,die Eigenvektoren und die normierte Darstellung [mm] A^{\*}.
[/mm]
Mein Ansatz:
-Es gibt keine Eigenwerte,daher auch keine Eigenvektoren.
Nun habe ich zwei Eigenvektoren ausgedacht.
[mm] A^{\*}=A^{STERN}
[/mm]
[mm] \vec{v_{1}}= \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vec{v_{2}}= \vektor{e \\ f}
[/mm]
- T=Transformationsmatrix,ergibt sich aus den beiden Eigenvektoren
- [mm] T^{-1}=die [/mm] Inversematrix vom Transformationsmatrix
- [mm] A^{STERN}= [/mm] "normierte Darstellung"
[mm] A^{\*}=T^{-1}*A*T
[/mm]
[mm] T=\pmat{ 1 & e \\ 0 & f } [/mm]
[mm] T^{-1}= \bruch{1}{f} *\pmat{ f & -e \\ 0 & 1 } [/mm]
[mm] A^{\*}= \bruch{1}{f}* \pmat{ f & -e \\ 0 & 1 } *\pmat{ -1 & -1 \\ 2 & 1 }*\pmat{ 1 & e \\ 0 & f }
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{f}* \pmat{ f & -e \\ 0 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ -1 & -e-f \\ 2 & 2e+f }
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{f}* \pmat{ -f-2e & f(-e-f) -e(2e+f) \\ 2 & 2e+f }
[/mm]
= ???
Was müsste da jetzt rauskommen wenn ichs mit [mm] \bruch{1}{f} [/mm] multipliziere?
Ist es bis zum letzten Schritt alles korrekt?
Wie bestimme ich e und f?
Würd mich über jede Art von hilfe freuen.
Vielen Dank im Voraus.
MfG
Danyal
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> hallo liebe Forumfreunde,leider komme ich bei folgender
> Aufageb nicht weiter,deshalb bitte ich euch um eure hilfe.
>
> Aufgabe:
>
> [mm]A=\pmat{ -1 & -1 \\ 2 & 1 }[/mm]
> Bestimme dazu die
> Eigenwerte,die Eigenvektoren und die normierte Darstellung
> [mm]A^{\*}.[/mm]
>
> Mein Ansatz:
>
> -Es gibt keine Eigenwerte,daher auch keine Eigenvektoren.
Hallo,
ja, reelle Eigenwerte gibt es nicht.
>
> Nun habe ich zwei Eigenvektoren ausgedacht.
??? Aber es gibt doch gar keine...
> Eigenwerte,die Eigenvektoren und die normierte Darstellung
Für mich wäre es hilfreich, wenn Du sagen wqürdest, was mit "normierte Darstellung " gemeint ist. Ich weiß das nicht.
Gruß v. Angela
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hallo angela und vielen Dank für dein Interesse an dieser Aufgabe.
> > hallo liebe Forumfreunde,leider komme ich bei folgender
> > Aufageb nicht weiter,deshalb bitte ich euch um eure hilfe.
> >
> > Aufgabe:
> >
> > [mm]A=\pmat{ -1 & -1 \\ 2 & 1 }[/mm]
> > Bestimme dazu die
> > Eigenwerte,die Eigenvektoren und die normierte Darstellung
> > [mm]A^{\*}.[/mm]
> >
> > Mein Ansatz:
> >
> > -Es gibt keine Eigenwerte,daher auch keine Eigenvektoren.
>
> Hallo,
>
> ja, reelle Eigenwerte gibt es nicht.
>
> >
> > Nun habe ich zwei Eigenvektoren ausgedacht.
>
> ??? Aber es gibt doch gar keine...
Stimmt,aber mein Lehrer meinte,dass es so geht.
>
> > Eigenwerte,die Eigenvektoren und die normierte Darstellung
>
> Für mich wäre es hilfreich, wenn Du sagen wqürdest, was
> mit "normierte Darstellung " gemeint ist. Ich weiß das
> nicht.
Mit normierter Darstellung ist das [mm] A^{STERN}=A^{\*}gemint.mehr [/mm] weiß ich auch nicht,leider.
MfG
Danyal
>
> Gruß v. Angela
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Hallo liebe Forumfreunde, wir haben auch ähnliche Aufgaben.
Bei Aufgaben ohne Eigenwerte habe ich auch meine Schwierigkeiten, aber meine Idee hierzu ist folgende:
Danyal deinen Ansatz halte ich für richtig als nächstes würde ich die Diangonalen gleich setzten also hätte man hier
-f-2e = f+2e jetzt nach f auflösen sodass man -2e bekommt
das nun bei der anderen Gleichung einsetzten also bei -2=-f²-2e²-2ef, also 2=-4e²-2e²+4e² jedoch habe ich hier ein Problem denn wenn man nun nach e auflöst bekommt man zuerst -e²=1 hier kommt meine eigentliche Frage kann man jetzt wurzel aus e² ziehen ohne das Minus zu beachten also:
- [mm] \wurzel[]{e^{2}} [/mm] = 1 oder muss man mit der Imaginären Zahl handeln ?
Gruß Felix
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> Hallo liebe Forumfreunde, wir haben auch ähnliche
> Aufgaben.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Vielleicht kannst Du dan nfür mich mal das Geheimnis lüften, was mit "normierteer Darstellung" gemeint ist.
Das wäre schön.
Gruß v. Angela
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hallo angela ich habe in meiner Mappe nochmal nachgeguckt und folgendes gefunden:
1.) [mm] T^{-1}*A*T=A^{STERN}
[/mm]
2.) [mm] T*A^{STERN}*T^{-1}=A
[/mm]
[mm] 3.)T*T^{-1}*A*T*T^{-1}= T*A^{STERN}*T^{-1}
[/mm]
4.) [mm] T*T^{-1}=Einheitsmatrix
[/mm]
Ich hoffe ich konnte dir diesmal etwas besser erklären was mit "normierter Darstellung" gemeint ist.
MfG
Danyal
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hallo Angela wir haben es auch so erklärt bekommen wobei T
der Transformationsmatrix ist dieser besteht aus den Eigenvektoren und A* (Stern ) ist hier die normierte Darstellung
Gruß Felix
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> hallo Angela wir haben es auch so erklärt bekommen wobei T
> der Transformationsmatrix ist dieser besteht aus den
> Eigenvektoren
... was allerdings schlecht klappen kann, wenn es gar keine Eigenvektoren gibt.
Wenn es für die nxn-Matrix A eine Basis aus Eigenvekltoren gibt, dann ist Euer [mm] A^{\*} [/mm] die Diagonalmatrix, die die Eigenwerte auf der Diagonalen hat - soweit komme ich mit.
Aber wenn es nun keine Eigenbasis gibt? Was ist mit normierter Darstellung gemeint?
Es muß doch entweder für [mm] A^{\*} [/mm] oder für die Transformationsmatrix T eine bestimmte Form gefordert sein.
Weil: [mm] A^{\*}:=T^{-1}AT [/mm] kann ich doch mit jeder beliebigen invertierbaren Matrix machen.
Was also will man erreichen?
(Es müßte ja in der Mitschrift stehen, was mit normierter Darstellung gemeint ist. )
Gruß v. Angela
> und A* (Stern ) ist hier die normierte
> Darstellung
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hallo angela
leider steht in meiner Aufzeichnung nix mehr,aber wir hatten es auch für einen Matrix A mit einem Eigenvektor die normierte Darstellung berechnet,nur der 2.Eigenvektor darf nicht kollinear sein zum 1.Eigenvektor.
Deeshalb denkt man sich für eine Matrix A ,der keine Eigenwerte hat und somit auch keine Eigenvektoren 2 Eigenvektoren aus,die nicht kollinear sind.
Mehr weiß ich auch nicht.
Leider kann ich dir nicht konkret sagen,was "normierte Darstellung" heißt.
Trotzdem vielen Dank für deine Mühe uns zu helfen.
MfG
Danyal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:00 Sa 03.10.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Was ich aus den ganzen Beiträgen vermuten kann ist, dass du die Matrix in Diagonalform bringen möchtest (mit dein Eigenwerten in der Diagonalen).
Nun, deine oben gepostete Matrix hat keine reelle Eigenwärte, jedoch hat sie komplexe Eigenwerte (i und -i).
Vielleicht kannst du jetzt was damit anfangen.. denn wenn vorausgesetzt ist, dass die Eigenwerte reell sein müssen, gibt es ohne Eigenwerte keine Lösung für diese Aufgabe (zumal du geschrieben hast, die Spalten der T-Matrix sind die Eigenvektoren..)
Hast du die Matrix auch richtig abgeschrieben?
Grüsse, Amaro
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hallo
die Matrix ist korrekt abgeschrieben.Unser Lehrer meinte schon,dass dieser Matrix A keine Eigenwerte hat,und wir deshalb 2 ausdenken sollen,und damit weiterrechnen.
MfG
Danyal
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 Sa 03.10.2009 | | Autor: | MathePower |
Hallo mathegenie_90,
> hallo
> die Matrix ist korrekt abgeschrieben.Unser Lehrer meinte
> schon,dass dieser Matrix A keine Eigenwerte hat,und wir
> deshalb 2 ausdenken sollen,und damit weiterrechnen.
Ich kann mir vorstellen, daß hier zunächst die Eigenvektoren
zu berechnen sind, woraus dann eine [mm]\IC[/mm]-Basis folgt.
Diese [mm]\IC[/mm]-Basis ist dann in eine [mm]\IR[/mm]-Basis zu überführen.
>
> MfG
> Danyal
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 05.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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hallo mathepower danke für dein Tipp,nur leider verstehe ich den nicht so ganz.
Ist meine Rechnung bis dahin Korrekt?
Wie gehts weiter?
Wie bestimme ich nun e und f ?
MfG
Danyal
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Sa 03.10.2009 | | Autor: | MathePower |
Hallo mathegenie_90,
> hallo mathepower danke für dein Tipp,nur leider verstehe
> ich den nicht so ganz.
Nun, Du bestimmst wie normal die Eigenvektoren zu den Eigenwerten.
Diese sind dann in aller Regel auch komplex.
Dann bilden Real- und Imaginärteil eines Eigenvektors eine [mm]\IR[/mm]-Basis.
>
> Ist meine Rechnung bis dahin Korrekt?
> Wie gehts weiter?
> Wie bestimme ich nun e und f ?
>
> MfG
> Danyal
Gruss
MathePower
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hallo und danke für die hilfe mathepower.
Die Eigenwerte sind "i",also [mm] i^{2}=-1,mit [/mm] welchen Eigenwerten soll ich denn rechnen?
Vielen Dank im Voraus.
MfG
Danyal
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Sa 03.10.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> hallo und danke für die hilfe mathepower.
>
> Die Eigenwerte sind "i",also [mm]i^{2}=-1,mit[/mm] welchen
> Eigenwerten soll ich denn rechnen?
>
Nun, mit den Eigenwerten der Matrix.. du hast 2 davon
[mm] \lambda_{1} [/mm] = i
[mm] \lambda_{2} [/mm] = -i
Jetzt die Eigenvektoren dazu.
> Vielen Dank im Voraus.
>
> MfG
> Danyal
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mo 05.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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