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| Aufgabe | sei G eine gruppe, N normalteiler von G und U [mm] \le [/mm] G sowie [mm] (U_i [/mm] : i [mm] \in [/mm] I) eine familie von Untergruppen von G. zeige:
N [mm] \cap [/mm] U ist ein Normalteiler von U |
ich hab irgendwie garkeine idee wie man hier vorgehen soll. hat vielleicht irgenwer nen tipp wie man hier anfangen könnte.
N ist normalteiler, das heißt doch, dass es eine spezielle untergruppe ist mit gN=Ng und gNg^-1=N. wenn ich das jetzt mit U, also einer untergruppe, schneide erhalte ich doch eigentlich die triviale Untergruppe, die nur das neutrale element enthält!? und die wäre ja auf jeden fall normalteiler von G. ich hab einfach mal meine gedanken aufgeschrieben, vielleicht ist ja was sinnvolles dabei 
würde mich über hilfe freuen.
ich habe diese frage i n kienem anderen forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Mi 18.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> sei G eine gruppe, N normalteiler von G und U [mm]\le[/mm] G sowie
> [mm](U_i[/mm] : i [mm]\in[/mm] I) eine familie von Untergruppen von G.
> zeige:
> N [mm]\cap[/mm] U ist ein Normalteiler von U
>
> ich hab irgendwie garkeine idee wie man hier vorgehen
> soll. hat vielleicht irgenwer nen tipp wie man hier
> anfangen könnte.
Na: die Eigenschaften fuer Untergruppe und Normalteiler nachrechnen.
Die Untergruppeneigenschaften musst du selber rechnen.
Fuer die Normalteilereigenschaft nimm dir ein $g [mm] \in [/mm] U$. Du musst nun $g (N [mm] \cap [/mm] U) [mm] \subseteq [/mm] (N [mm] \cap [/mm] U) g$ und $(N [mm] \cap [/mm] U) g [mm] \subseteq [/mm] (N [mm] \cap [/mm] U) g$ zeigen.
Zu $g (N [mm] \cap [/mm] U) [mm] \subseteq [/mm] (N [mm] \cap [/mm] U) g$ nimmst du dir ein $n [mm] \in [/mm] N [mm] \cap [/mm] U$. Da $N$ ein Normalteiler ist, gilt $g n [mm] \in [/mm] N g$. Du musst also noch $g n [mm] \in [/mm] U g$ zeigen, dann folgt $g n [mm] \in [/mm] (N [mm] \cap [/mm] U) g$.
Dann leg mal los...
> N ist normalteiler, das heißt doch, dass es eine spezielle
> untergruppe ist mit gN=Ng und gNg^-1=N.
Das gilt fuer alle $g [mm] \in [/mm] G$, damit es Normalteiler in $G$ ist.
> wenn ich das jetzt
> mit U, also einer untergruppe, schneide erhalte ich doch
> eigentlich die triviale Untergruppe, die nur das neutrale
> element enthält!?
Warum solltest du? Ist etwa $N = U$ nicht die triviale Untergruppe, so ist $N [mm] \cap [/mm] U = N = U$ ebenfalls nicht die triviale Untergruppe.
LG Felix
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