normalenvektoren parallel eben < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | bestimme drei normalenvektoren von [mm] \vec{a}, [/mm] von denen jeder zu einer koordinatenebene parallel ist:
a) [mm] \vec{a}=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}
[/mm]
b) [mm] \vec{a}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} [/mm] |
bisher wars halt immer so, dass die ebene in paramterform angegeben war und man musste eben den normalenvektor berechnen. da kam dann nie eine eindeutige lösung raus, sondern immer alle vielfachen des vektors, den man berechnet hat, da man ja ein unterbestimmtes gleichungssystem hatte.
jetzt bei dieser aufgabe brauch ich erst mal alle koordinatenebenen in der parameterform, oder? aber wie schaut die dann aus? es muss doch dann eine koordinate 0 sein, oder? aber wie schriebt man denn die koordinatenebenen in parameterform?
bei der aufgabe a) kommt raus: [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
wieso sinds denn jetzt auf einmal eindeutige ergebnisse?
bei der b) kommen in dem vektor ja auch schon zwei 0er vor, was muss ich dann beachten?
lösung der b) müsste sein:
[mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
danke...:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mickeymouse!
Auch hier gibt es selbstverständlich jeweils unendlich viele Lösungen bei den gesuchten Vektoren.
Allerdings wurden hier jeweils die kleinstmöglichen ganzzahligen Lösungen für die einzelnen Koordinaten gewählt.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 So 18.11.2007 | | Autor: | Humpf |
Die Koordinatenebenen in Parameterform zu schreiben, geht folgendermaßen:
Die Parameterform für Ebenen ist gegeben durch einen Ortsvektor und zwei Richtungsvektoren (bzw. deren Vielfaches):
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{blabla} [/mm] + [mm] \lambda \overrightarrow{a}+ \mu \overrightarrow{b} [/mm]
Den Ortsvektor kann man leicht wählen, da alle Koordinatenebenen durch den Ursprung gehen:
[mm] $\vec{blabla}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} [/mm] $
Die beiden Richtungsvektoren hängen jetzt von der jeweiligen Ebene ab. Sie müssen beide bei der Achse, zu der die Koordinatenebene nicht parallel ist, als Koeffizienten null haben.
Als Beispiel (x2-x3-Ebene):
[mm] $\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} [/mm] $ + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ a2 \\ a3\end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu \begin{pmatrix} 0 \\ b2 \\ b3\end{pmatrix}
[/mm]
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