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| Aufgabe | Welche der folgende Ringe [mm] R_i [/mm] sind noethersch?
(i) [mm] R_1=\lbrace \bruch{a}{b}\in Quot(\IC[x]) [/mm] | [mm] b(x)\neq [/mm] 0 für [mm] |z|=1\rbrace
[/mm]
(ii) [mm] R_2=\lbrace f\in \IC\lbrace x\rbrace [/mm] | f hat unendlichen [mm] Konvergenzradius\rbrace
[/mm]
(iii) [mm] R_3 =\lbrace f\in \IC[x] [/mm] | [mm] \bruch{\partial^if}{\partial x^i}(0)=0 [/mm] für i=1,...,k [mm] \rbrace [/mm] k fest |
Guten Abend zusammen,
in der VL haben wir folgendes zu noethersch definiert:
Sei R Ring. Dann sind folgende Aussagen äquivalent
(i) R erfüllt die aufsteigende Kettenbedingung für Ideale: Für jede aufsteigende Kette [mm] I_1\subseteq I_2\subseteq I_3\subseteq... [/mm] von Idealen [mm] I_j\subseteq [/mm] A [mm] (j\in\IN) [/mm] gibt es ein [mm] k\in\IN [/mm] mit [mm] I_l=I_k \forall l\leq [/mm] k, d.h. die Kette wird stationär.
(ii) Jede nichtleere Menge S von Idealen in R hat mind. Ein maximales Element.
(iii) Jedes Ideal I in R ist endlich erzeugt (als R-Modul), d.h. [mm] \exists n\in\IN, a_1,...,a_n \in [/mm] R mit [mm] I=(a_1,...,a_n)
[/mm]
Wenn eine (und damit jede) der obigen Aussagen erfüllt ist, so nennt man R einen noetherschen Ring.
Wie kann ich anhand diese Aussagen diese Aufgabe lösen? Bzw gibt es da eine anderen Weg?
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In (i) soll es wohl [mm] $b(z)\not=0$ [/mm] für $|z|=1$ heißen? Dann bilden diese $b$s eine multiplikative Menge und der Ring ist eine Lokalisierung von [mm] $\IC[x]$.
[/mm]
(ii) Was soll [mm] $\IC\{x\}$ [/mm] sein? Der Ring der Puiseux-Polynome?
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