nochmal Grenzwert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Di 14.10.2008 | | Autor: | Gopal |
| Aufgabe | Untersuche auf Konvergenz und bestimme gegebennenfalls den Grenzwert:
[mm] x_{n}=(1-\bruch{1}{n+1})^{2n+1} [/mm] |
Hallo,
ich habe zwei Fragen:
zunächst konkret zu der obigen Aufgabe:
ich habe den starken Verdacht, dass es auf einen Grenzwert [mm] \bruch{1}{e^{2}} [/mm] hinausläuft, schließlich ist ja
[mm] (1-\bruch{1}{n+1})^{2n+1}=(1-\bruch{1}{n+1})^{n}(1-\bruch{1}{n+1})^{n}(1-\bruch{1}{n+1}) [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n})^{n}=\bruch{1}{e}.
[/mm]
Wie schreibe ich jetzt aber sauber auf, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n+1})^{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n})^{n} [/mm] ist.
außerdem frage ich mich allgemein:
was sind die Strategien, um Folgen auf Konvergenz zu testen und Grenzwerte zu bestimmen? Bisher habe ich die folgenden Möglichkeiten verwendet:
-durch Ausklammern Nullfolgen erzeugen [mm] \to [/mm] Grenzwert
-Folge nach oben und unten durch Folgen abschätzen, die den selben Grenzwert haben [mm] \to [/mm] Grenzwert
-Monotonieverhalten und Schranke ermitteln [mm] \to [/mm] Konvergenz
-zwei Teilfolgen finden, die nicht gegen den selben Grenzwert konvergieren [mm] \to [/mm] Divergenz
Danke füreure Mühe
gopal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Di 14.10.2008 | | Autor: | Gopal |
> ich habe den starken Verdacht, dass es auf einen Grenzwert
> [mm]\bruch{1}{e^{2}}[/mm] hinausläuft, schließlich ist ja
> [mm](1-\bruch{1}{n+1})^{2n+1}=(1-\bruch{1}{n+1})^{n}(1-\bruch{1}{n+1})^{n}(1-\bruch{1}{n+1})[/mm]
> und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n})^{n}=\bruch{1}{e}.[/mm]
>
> Wie schreibe ich jetzt aber sauber auf, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n+1})^{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n})^{n}[/mm]
> ist.
Oder muss ich da gar nichts weiter begründen, da das +1 im Nenner bei n [mm] \to \infty [/mm] nicht ins Gewicht fällt?
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Hallo Gopal,
du kannst diese "Begrüngungsmisere" doch einfach umgehen, wenn du ein klein wenig anders umformst:
[mm] $\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{2n+1}=\frac{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{2n+2}}{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{1}}=\frac{\left[\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right]^2}{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{1}}\longrightarrow \frac{\left[e^{-1}\right]^2}{1}=e^{-2}$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Die Begründung für die Gleichheit deiner GWe kannst du mit der analogen Umformung hinbasteln ...
LG
schachuzipus
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