nipotente Matrix singulär < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Meine einzige Frage ist eigentlich bloß, was nipotent übersetzt heißt, (vielleicht mit Bsp.) und was hat dies mi singulär zu tun, da wir diese Aufgabe haben. Und ich halt Probleme hab.
Eine Matrix N heißt nilpotent, wenn es ein k [mm] \in [/mm] N gibt, derart dass [mm] N^{k} [/mm] = N · · · · · N= 0.
k-mal
Beweise oder widerlege:
(a) Jede nilpotente Matrix ist singulär.
(b) Jede singuläre Matrix ist nilpotent.
(c) IstN nilpotent, so ist 0 der einzige Eigenwert vonN .
Ich hoffe ihr könnt mr helfen, danke
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Grüße!
Also, ich gehe mal davon aus, dass eure Definition von "singulär" bedeutet, dass die Matrix nicht invertierbar ist. Sollte ich mich da irren, ist das Kommende leider hinfällig. 
Zunächst: die Definition von "nilpotent" steht doch da: eine gewisse Potenz der Matrix ist die Nullmatrix. Fasst man die Matrix als lineare Abbildung auf, so bedeutet dies: es gibt eine natürliche Zahl $k$, so dass die Abbildung nach $k$ Anwendungen auf jeden Vektor den Nullvektor produziert.
Die erste Frage ist, ob eine nilpotente Matrix immer singulär ist oder anders gefragt, ob es auch nilpotente Matrizen gibt, die invertierbar sind.
Die Antwort auf die zweite Frage ist natürlich Nein: wenn eine Matrix invertierbar ist, dann sind es auch all ihre Potenzen, insbesondere kann keine Potenz gleich 0 sein. Also ist jede nilpotente Matrix singulär.
Die anderen kannst jetzt allein versuchen... kleiner Hinweis: b) ist falsch, aber c) stimmt wieder. Bei b) kann man schon im $2 [mm] \times [/mm] 2$ Fall ein simples Gegenbeispiel finden.
Viel Erfolg!
Lars
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