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| Aufgabe | Sei K ein Körper und m ∈ N. Eine Matrix M ∈ Matm(K) heisst nilpotent, falls es k ∈N mit Mk = 0 gibt.
(a) Finden Sie eine nilpotente Matrix M ∈ Mat2(Q) mit M ungleich 0.
(b) Beweisen Sie, dass Em = (Em−M)(Em +M [mm] +M^2 [/mm] +···+M^(k−1)) für jede nilpotente Matrix M ∈ Matm(K) mit [mm] M^k [/mm] = 0.
(c) Zeigen Sie, dass Em −M invertierbar ist für jede nilpotente Matrix M ∈ Matm(K). |
Hallo! Ich wär sehr froh um einen Tipp, ich komme beim b) nicht weiter. Danke!!
a)
[mm] \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
[/mm]
mal die Matrix
[mm] \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
[/mm]
soll
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
ergeben:
Also:
I) [mm] a^2 [/mm] + bc = 0
II) b(a + d) = 0
III) c (a + d) = 0
IV) [mm] d^2 [/mm] + bc = 0
Daraus folgt: [mm] a^2 [/mm] = [mm] d^2 [/mm] = -bc
II) b (a + d) = 0
falls b = 0, ergibt sich aus den Gleichungen, dass a = b = c = d = 0, Nullmatrix als Ergebnis nicht erwünscht.
also (a + d) = 0 --> a = -d
Zum Beispiel:
a = 2 , d = -2
[mm] a^2 [/mm] = 4 = -bc
Also muss b negativ und c positiv sein oder andersherum.
sei b = 2, c = -2
(-2) (-2) = 4
[mm] \begin{pmatrix}
2 & 2 \\
-2 & -2
\end{pmatrix}
[/mm]
ist nilpotent.
b)
Bei b) habe ich
die Angabe in Matrizen geschrieben.
Alle A mit ^2 bis ^(k-1) habe ich nullgesetzt.
Dann steht da nur noch:
E = (A-E)(E +A)
Das habe ich in der Form von den Matrizen
[mm] \begin{pmatrix}
a-1 & b \\
c & d-1
\end{pmatrix} [/mm]
und
[mm] \begin{pmatrix}
1 +a & b \\
c & d + 1
\end{pmatrix} [/mm]
ausmultipliziert
[mm] \begin{pmatrix}
(a^2 -1) + bc & ab +bd\\
ac + cd & (d^2-1) + cb
\end{pmatrix} [/mm]
und dann mit den Gleichungen von a) "zusammengefasst"
Leider komme ich dann als Ergebnis auf die Matrix
[mm] \begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix} [/mm]
Ich finde den Fehler leider nicht. Ich wär sehr froh um Hilfe! Ich denke, wahrscheinlich bin ich ganz falsch an die Sache herangegangen.
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Schönen Tag, mariella22!
Du hast ein korrektes Beispiel gefunden. Bei der $b)$ solltest du dich nicht mit [mm] $2\times2$-Matrizen [/mm] aufhalten. Rechne direkt allgemein die Formel nach. Wende dazu einmal das Distributivgesetz an. Danach erhälst du eine sogenannte Teleskopsumme. Falls du schon einmal die Formel für die geometrische Summe von Zahlen gesehen hast - dort wird genau dasselbe getan.
Mathematische Grüße
Die Salamanderprinzessin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 Do 03.11.2016 | | Autor: | mariella22 |
Vielen Dank!
Damit ist dann das Inverse Element ja grad auch bewiesen oder?
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Vielen Dank!
Damit ist dann das Inverse Element ja grad auch bewiesen oder?
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Hallo, mariella22!
Ja, ist es 
Mathematische Grüße
Die Salamanderprinzessin
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