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| Aufgabe | Finden Sie die allgemeine Lösung der nichtlinearen Differentialgleichung
[mm] (1+x^2)y`` [/mm] + [mm] (y`)^2 [/mm] +1 = 0
Hinweis: Mit Hilfe der Beziehung
tan(x+y) [mm] =\bruch{tan(x)+tan(y)}{1-tan(x)*tan(y)}
[/mm]
erhalten Sie nach Umformen folgenden Ausdruck:
z [mm] =\bruch{c-x}{1+x*c} [/mm] |
1. Problem:
ich habe zunächst versucht, die Gleichung mit Hilfe von der Substitution y'= z umzuformen:
[mm] (1+x^2)y'' [/mm] + [mm] (y')^2 [/mm] +1 = 0 Substitution y'= z
[mm] (1+x^2)z' [/mm] + [mm] (z)^2 [/mm] +1 = 0 z'= [mm] \bruch{dz}{dx}
[/mm]
[mm] (1+x^2) \bruch{dz}{dx} [/mm] + [mm] (z)^2 [/mm] +1 = 0 Ausmultiplizieren
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] + [mm] x^2\bruch{dz}{dx} [/mm] + [mm] (z)^2 [/mm] +1 = 0
Frage: Kann ich nun "Trennung der Variablen" einsetzen, um eine Differentialgleichung 1. Ordnung zu erhalten?
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Hallo Kaleidoskop,
> Finden Sie die allgemeine Lösung der nichtlinearen
> Differentialgleichung
>
> [mm](1+x^2)y''[/mm] + [mm](y')^2[/mm] +1 = 0
>
> Hinweis: Mit Hilfe der Beziehung
>
> tan(x+y) [mm]=\bruch{tan(x)+tan(y)}{1-tan(x)*tan(y)}[/mm]
>
> erhalten Sie nach Umformen folgenden Ausdruck:
>
> z [mm]=\bruch{c-x}{1+x*c}[/mm]
> 1. Problem:
>
> ich habe zunächst versucht, die Gleichung mit Hilfe von
> der Substitution y'= z umzuformen:
>
> [mm](1+x^2)y''[/mm] + [mm](y')^2[/mm] +1 = 0 Substitution y'= z
>
> [mm](1+x^2)z'[/mm] + [mm](z)^2[/mm] +1 = 0 z'= [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm]
>
> [mm](1+x^2) \bruch{dz}{dx}[/mm] + [mm](z)^2[/mm] +1 = 0 Ausmultiplizieren
>
> [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] + [mm]x^2\bruch{dz}{dx}[/mm] + [mm](z)^2[/mm] +1 = 0
>
> Frage: Kann ich nun "Trennung der Variablen" einsetzen, um
> eine Differentialgleichung 1. Ordnung zu erhalten?
Nun, die Differentialgleichung 1. Ordnung hast Du schon.
Die Methode der "Trennung der Variablen"
ist ein Lösungsverfahren zum Lösen von DGLs.
Gruss
MathePower
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ok danke für den Hinweis... 
ich hab ja jetzt nun die DGL 1. Ordnung....aber wie bekomm ich diese Gleichung in Verbindung mit diesem Addiotionstheorem?
steh da ein bisschen auf dem schlauch ^^
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Hallo Kaleidoskop,
> ok danke für den Hinweis...
> ich hab ja jetzt nun die DGL 1. Ordnung....aber wie bekomm
> ich diese Gleichung in Verbindung mit diesem
> Addiotionstheorem?
> steh da ein bisschen auf dem schlauch ^^
Löse erstmal diese DGL 1. Ordnung, dann siehst Du auch,
an welcher Stelle das Additionstheorem zu verwenden ist.
Gruss
MathePower
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aber mit Variablentrennung erscheint mir das Lösen dieser DGL als schwierig, denn ich bekomme x und z nicht auf eine Seite:
[mm] \bruch{dz}{dx}+x^2\bruch{dz}{dx}+(z)^2+1=0
[/mm]
dz + [mm] x^2 [/mm] dz = [mm] (z)^2 [/mm] dx + dx |: [mm] x^2 [/mm] und [mm] z^2
[/mm]
[mm] \bruch{z^2}{x^2}dz [/mm] + [mm] \bruch{1}{z^2}dz [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^2}dx [/mm] + [mm] \bruch{z^2}{x^2}dx
[/mm]
oder mache ich einen Denkfehler?
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Hallo Kaleidoskop,
> aber mit Variablentrennung erscheint mir das Lösen dieser
> DGL als schwierig, denn ich bekomme x und z nicht auf eine
> Seite:
>
> [mm]\bruch{dz}{dx}+x^2\bruch{dz}{dx}+(z)^2+1=0[/mm]
>
> dz + [mm]x^2[/mm] dz = [mm](z)^2[/mm] dx + dx |: [mm]x^2[/mm] und [mm]z^2[/mm]
Die Gleichung muss doch so lauten:
[mm]dz + x^2 dz = \red{-}(z)^2 dx \red{-} dx[/mm]
Hier musst Du durch [mm]1+x^{2}[/mm] und [mm]1+z^{2}[/mm] dividieren.
>
> [mm]\bruch{z^2}{x^2}dz[/mm] + [mm]\bruch{1}{z^2}dz[/mm] = [mm]\bruch{1}{x^2}dx[/mm] +
> [mm]\bruch{z^2}{x^2}dx[/mm]
>
>
> oder mache ich einen Denkfehler?
Gruss
MathePower
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dz [mm] +x^2 [/mm] dz = [mm] -(z^2)dx-dx
[/mm]
[mm] (1+x^2)dz=(-z^2-1)dx
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{z^2+1}dz=\bruch{1}{1+x^2}dx
[/mm]
[mm] -\integral{\bruch{1}{z^2+1} dz}=\integral{\bruch{1}{x^2+1} dx}
[/mm]
- arctan z + c1 = arctan x + c2
nun würde ich beide Seiten mit - tan multiplizieren:
z = -x+c
nun der Addiotionstheorem:
[mm] tan(x+y)=\bruch{tan(x)+tan(y)}{1-tan(x)*tan(y)}
[/mm]
dann würde hier tan(x+y) = z ; tan(x) = -x und tan(y) = c darstellen?
und nach Umformen folgende Gleichung erhalten:
[mm] z=\bruch{c-x}{1-xc}
[/mm]
durch Rücktransformation:
[mm] y'=\bruch{c-x}{1-xc} [/mm] => Lösung der nichtlinearen DGL?
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Hallo Kaleidoskop,
> dz [mm]+x^2[/mm] dz = [mm]-(z^2)dx-dx[/mm]
>
> [mm](1+x^2)dz=(-z^2-1)dx[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{z^2+1}dz=\bruch{1}{1+x^2}dx[/mm]
>
> [mm]-\integral{\bruch{1}{z^2+1} dz}=\integral{\bruch{1}{x^2+1} dx}[/mm]
>
> - arctan z + c1 = arctan x + c2
>
> nun würde ich beide Seiten mit - tan multiplizieren:
Hier multiplizierst Du nicht,
sondern wendest den Tangens auf beide Seiten der Gleichung an.
>
> z = -x+c
>
> nun der Addiotionstheorem:
>
> [mm]tan(x+y)=\bruch{tan(x)+tan(y)}{1-tan(x)*tan(y)}[/mm]
>
> dann würde hier tan(x+y) = z ; tan(x) = -x und tan(y) =
> c darstellen?
Ja.
>
> und nach Umformen folgende Gleichung erhalten:
>
> [mm]z=\bruch{c-x}{1-xc}[/mm]
>
> durch Rücktransformation:
>
> [mm]y'=\bruch{c-x}{1-xc}[/mm] => Lösung der nichtlinearen DGL?
Wenn Du die Lösung der nichtlinearen DGL haben willst,
dann mußt Du dies nochmal integrierern:
[mm]y\left(x}\right)=\integral_{}^{}{\bruch{c-x}{1-xc} \ dx}[/mm]
Gruss
MathePower
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