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| Aufgabe | Gegeben sei die Menge M := {x ∈ R : x = [mm] m/2^{n} [/mm] für ein m ∈ Z und ein n ∈ N}. Zeigen Sie:
a) Weder M noch R \ M sind offen in R. |
Ich habe noch so meine Probleme solche Beweise zu führen. Ich weiß eigentlich, was offene und nicht offene Mengen sind, aber wie kann ich das hier anwenden. Es wird behauptet, dass weder M noch das Komplement von M in R offen sind, d.h. es gibt eine Umgebung eines Punktes x, die nicht ganz in M liegt.
Hilft mir hier ein Widerspruchsbeweis weiter?
Danke für jede Antwort
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:27 Do 04.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben sei die Menge M := [mm] \{x \in \IR : x = m/2^{n} \text{für ein } m \in \IZ \text{ und ein } n \in \IN\}. [/mm] Zeigen Sie:
> a) Weder M noch R \ M sind offen in R.
> Ich habe noch so meine Probleme solche Beweise zu führen.
> Ich weiß eigentlich, was offene und nicht offene Mengen
> sind, aber wie kann ich das hier anwenden. Es wird
> behauptet, dass weder M noch das Komplement von M in R
> offen sind, d.h. es gibt eine Umgebung eines Punktes x, die
> nicht ganz in M liegt.
nein, das findet man auch bei offenen Mengen:
$(0,1)$ ist offen, und wenn ich (bzgl. [mm] $\IR$) [/mm] eine [mm] $\,1\,$-Umgebung [/mm] um $1/2 [mm] \in [/mm] (0,1)$ lege, so liegt die auch nicht ganz in $(0,1)$.
Du musst zeigen:
Es gibt ein $x [mm] \in [/mm] M$, so dass es kein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ so gibt, dass [mm] $U_\varepsilon(x)=\{y \green{\in \IR}: |x-y|< \varepsilon\} \subset [/mm] M$. Und wenn Du mal hinguckst: Offenbar gilt
$$M [mm] \subset \IQ\,.$$
[/mm]
Und in jeder [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] einer rationalen Zahl findet man eine irrationale...
> Hilft mir hier ein Widerspruchsbeweis weiter?
Sicher auch. Angenommen, $M$ wäre offen. Insbesondere müßte es dann zu [mm] $\frac{1}{2} \in [/mm] M [mm] \subset \IQ$ [/mm] ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ so geben, dass... Es kommt auf's selbe raus wie oben angedeutet.
Noch zu der Aussage, dass [mm] $\IR \setminus [/mm] M$ nicht offen ist:
Zeige einfach, dass $M$ auch nicht abgeschlossen ist. (Wäre [mm] $\IR \setminus [/mm] M$ offen, so wäre [mm] $\IR \setminus (\IR \setminus [/mm] M)=M$ abgeschlossen!)
Wir wissen, dass [mm] $(1+1/k)^k \underset{k \to \infty}{\longrightarrow} [/mm] e [mm] \in \IR \setminus M\,.$ [/mm] (Beachte wieder $M [mm] \subset \IQ$).
[/mm]
Ferner:
[mm] $$\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}=\left(\frac{k+1}{k}\right)^k=\frac{(k+1)^k}{k^k}\,.$$
[/mm]
Setze mal [mm] $k=2^p$ [/mm] für $p [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $$\frac{(k+1)^k}{k^k}=\frac{(2^p+1)^{(2^p)}}{2^{(p*2^p)}}$$
[/mm]
Also:
Für $p [mm] \in \IN$ [/mm] definiere [mm] $m:=(2^p+1)^{(2^p)} \in \IZ$ [/mm] und [mm] $n:=p*2^p \in \IN\,.$
[/mm]
Dann gilt
[mm] $$\underbrace{\frac{m}{2^n}}_{\in M}=\frac{(2^p+1)^{(2^p)}}{2^{(p*2^p)}}=\left(\frac{2^p+1}{2^p}\right)^{2p}=(1+1/(2^p))^{2p}\,.$$
[/mm]
Was passiert bei $p [mm] \to \infty$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Super vielen Dank für die ziemlich ausführliche Beschreibung meines Vorgehens. Hat mir sehr geholfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:52 Do 04.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Super vielen Dank für die ziemlich ausführliche
> Beschreibung meines Vorgehens. Hat mir sehr geholfen.
entschuldige, ich hatte das [mm] $\,n\,$ [/mm] falsch notiert. Bitte nicht [mm] $\red{n:=2^{(p*2^p)}}$, [/mm] sondern [mm] $\blue{n:=p*2^p}$ [/mm] setzen (ich habe es bereits editiert).
Das [mm] $\,n\,$ [/mm] war ja im Exponent der Nenner bei der [mm] $\,2\,$ [/mm] (deswegen habe ich ja überhaupt erst den Ansatz [mm] $k=2^p$ [/mm] gewählt, damit wir da [mm] $2^{irgendwas}$ [/mm] schreiben können und dann das $irgendwas=n$ setzen können ).
Gruß,
Marcel
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