nicht messbar? < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Mo 17.11.2008 | | Autor: | electraZ |
Guten Abend an alle!
Ich quelle mich gerade bei der suche nach einer nicht messbaren funktion, muss sie dafür unstetig sein?
genauer geht es darum, dass |f| messbar sein soll und f selbst nicht.
danke im Voraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Mo 17.11.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
sei [mm] \lambda [/mm] das Lebesgue-Maß auf [mm] \IR, [/mm] finde eine nicht [mm] \lambda-messbare [/mm] Menge M [mm] \subseteq \IR
[/mm]
definiere die charakteristische Funktion:
[mm]\mathcal{X}_M: \IR \to \{0,1\}, x \to[/mm] [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{falls } x \in \mbox{ M} \\ 1, & \mbox{falls } x \not\in \mbox{ M} \end{cases}
[/mm]
diese ist dann nicht meßbar.
zum Beispiel ist eine Vitali Menge nicht meßbar. siehe ![[]](/images/popup.gif) hier
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Mo 17.11.2008 | | Autor: | electraZ |
Aber so wie ich sehe, der Betrag von dieser Funktion ist genauso nicht messbar? oder irre ich mich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Mo 17.11.2008 | | Autor: | electraZ |
es ist sogar unter |f| eher eine Norm von f zu verstehen als ein Betrag...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Mo 17.11.2008 | | Autor: | vivo |
ja, dass stimt! sorry dass hab ich überlesen ...
schau mal hier
Teil b)
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aber so wie ich sehe, der Betrag von dieser Funktion ist
> genauso nicht messbar? oder irre ich mich?
nein, Du irrst nicht, aber der Tipp ist dennoch gut. Man sollte nur die Funktion außerhalb von [mm] $\,M\,$ [/mm] anders definieren, am sinnvollsten in naheliegendster Weise. Siehe dazu meine andere Antwort 
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Guten Abend an alle!
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> Ich quelle mich gerade bei der suche nach einer nicht
> messbaren funktion, muss sie dafür unstetig sein?
>
> genauer geht es darum, dass |f| messbar sein soll und f
> selbst nicht.
Du kannst Vivo's Tipp benutzen bzw. etwas variieren:
Setze [mm] $f(x):=\chi_M(x)-\chi_{\IR \setminus M}(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in M \\ -1, & \mbox{für } x \notin M \end{cases}$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] für eine [mm] nicht-$\lambda$-messbare [/mm] Menge $M [mm] \subset \IR\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $\,f\,$ [/mm] nicht [mm] $\lambda$-messbar [/mm] (z.B. weil [mm] $f^{-1}(\{1\})=M$ [/mm] dann nicht [mm] $\lambda$-messbar [/mm] ist.)
Aber es ist [mm] $|f(x)|\,=\,1$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] und damit offensichtlich [mm] $|\,f\,|$ $\lambda$-messbar.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Mo 17.11.2008 | | Autor: | electraZ |
heißt das, dass wenn [mm] f^{-1}(\{1\}) [/mm] aus M ist, das nicht messbar ist, dann ist die beliebige Teilmenge davon auch nicht messbar?? oder hast du wirklich gemeint: [mm]f^{-1}(\{1\})=M[/mm] mit "Gleichzeichen"?
vielen Dank für deine Mühe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> heißt das, dass wenn [mm]f^{-1}(\{1\})[/mm] aus M ist, das nicht
> messbar ist, dann ist die beliebige Teilmenge davon auch
> nicht messbar??
nein. Eine einpunktige Teilmenge einer nichtmessbaren Teilmenge $M [mm] \subset \IR$ [/mm] ist ja durchaus auch eine messbare Menge.
> oder hast du wirklich gemeint:
> [mm]f^{-1}(\{1\})=M[/mm] mit "Gleichzeichen"?
Ich meinte wirklich mit Gleichheitszeichen (und natürlich musst Du auch erstmal eine nichtmessbare Menge $M [mm] \subset \IR$ [/mm] angeben!). Per Definitionem gilt ja hier (weil [mm] $\,f\,$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert ist)
[mm] $$f^{-1}(\{1\})=\{x \in \IR:\;f(x)=1\}\,.$$
[/mm]
Und damit gilt [mm] $$f^{-1}(\{1\})=M\,.$$ [/mm]
Denn:
Ist $x [mm] \in [/mm] M [mm] \subset \IR\,,$ [/mm] so folgt per Definitionem von [mm] $\,f\,$ [/mm] dann [mm] $f(x)\,=\,1$ [/mm] und damit $x [mm] \in f^{-1}(\{1\})\,.$ [/mm]
Also gilt $M [mm] \subset f^{-1}(\{1\})\,.$
[/mm]
Ist andererseits $x [mm] \in f^{-1}(\{1\}),\,$ [/mm] so gilt $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=1\,.$ [/mm] Nun gilt entweder $x [mm] \in [/mm] M$ oder $x [mm] \notin M\,.$ [/mm] Wäre $x [mm] \notin M\,,$ [/mm] so folgte aber [mm] $f(x)=-1\,.$ [/mm] Das kann also nicht sein. Also muss $x [mm] \in [/mm] M$ gelten.
Also gilt auch [mm] $f^{-1}(\{1\}) \subset M\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:29 Di 18.11.2008 | | Autor: | electraZ |
Ihr habt mir echt super geholfen!!!
Vielel vielen Dank!!!!!
schönen tag noch :)
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