nicht kompakte Teilmenge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man zeige:
(1) Die Menge [mm] \IR^{>0} [/mm] ist keine kompakte Teilmenge von [mm] (\IR; U_{\IR}). [/mm] |
Hallo,
ich brauche mal wieder eure Hilfe bei der obigen Aufgabe.
Kompaktheit hatten wir so: Eine Menge M in einem topologischen Raum (X,U) heißt kompakt, wenn je offene Überdeckung von M eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
Leider hat unser Prof darauf verzichtet ein Beispiel zu geben und die Beispiele aus dem Internet waren für mich nicht einleuchtend.
Könnte mir vielleicht jemand anhand der obigen Aufgabe den Begriff von Kompaktheit erklären und auch wie man vorgehen sollte, um zu zeigen, dass eine Menge kompakt bzw. nicht kompakt ist.
Vielen Dank,
Jana
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Und was bedeutet dieses [mm]U[/mm]? Das System der offenen Mengen? Ich gehe einmal davon aus, daß [mm]\mathbb{R}[/mm] mit der Standardtopologie (euklidischen Topologie) versehen ist.
Wenn die Kompaktheit zu jeder Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung verlangt, dann muß man für die Nicht-Kompaktheit nur eine spezielle Überdeckung, zu der es keine endliche Teilüberdeckung gibt, angeben.
Tip: Wähle in möglichst einfacher Weise eine aufsteigende Kette offener Intervalle
[mm]I_1 \subset I_2 \subset I_3 \subset \ldots[/mm]
die das Intervall [mm]\mathbb{R}^{>0} = (0,\infty)[/mm] immer besser ausschöpfen: [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty} I_k = (0,\infty)[/mm]
Speziell für alle ganzzahligen [mm]n \geq 1[/mm] gilt dann
[mm]\bigcup_{k=1}^n I_k = I_n[/mm]
Fangen wir einmal an:
[mm]I_1 = \left( \frac{1}{1+1} \, , \, 1 \right)[/mm]
Papier und Bleistift zum Zeichnen von Skizzen sind auf jeden Fall hilfreich.
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Hallo Leopold_Gast,
U ist das System der offenen Mengen, R ist mit der Standardtopologie versehen.
Ok, ich fange mal mit den offenen Intervallen an:
[mm] I_{1} [/mm] hast du ja schon gegeben: [mm] I_{1}=(\bruch{1}{1+1},1)
[/mm]
[mm] I_{2}=(\bruch{1}{2+1},2)
[/mm]
[mm] I_{3}=(\bruch{1}{3+1},3)
[/mm]
usw. wenn ich mir die Intervalle aufmale, dann geht die linke Seite der Intervalle immer näher an Null ran, die rechte geht gegen unendlich. Die Vereinigung müsste dann doch [mm] \IR^{>0} [/mm] ausschöpfen.
Jetzt hast du geschrieben, dass ich für die Nicht-Kompaktheit nur eine spezielle Überdeckung, zu der es keine endliche Teilüberdeckung gibt, angeben muss. Was hat das jetzt mit der Intervallen-Kette zu tun, irgendwie versteh ich das noch nicht:-(
Bitte, um weitere Hilfestellungen. Danke
Jana
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Genau so ist es. Mit [mm]I_k = \left( \frac{1}{k+1} \, , \, k \right) \, , \ k=1,2,3,\ldots[/mm] bekommst du eine Folge offener Mengen, die [mm]J = (0,\infty)[/mm] überdecken. Und jetzt mußt du nur noch begründen, warum endlich viele dieser Intervalle [mm]I_k[/mm] niemals ausreichen, um [mm]J[/mm] zu überdecken.
Dann hast du eine spezielle Überdeckung von [mm]J[/mm] gefunden, bei der endlich viele Glieder zur Überdeckung nicht ausreichen. Und genau so etwas hast du gesucht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 So 25.04.2010 | | Autor: | Jana-stud |
Ok, vielen Dank, jetzt ist es etwas klarer.
Viele Grüße,
Jana
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