nicht glm. konvergent < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich habe mal eine kurze Frage. Wenn ich zeigen möchte, dass [mm] \frac{x^{2n}}{1+x^{2n}} [/mm] nicht auf ganz [mm] \IR [/mm] gleichmäßig konvergiert, kann ich dann so vorgehen:
Wähle: [mm] x_{n}= 1+\frac{1}{2n}
[/mm]
Dann ist: [mm] ||f_n(x_n) [/mm] - [mm] f(x_n)||_{0,\IR} [/mm] = [mm] ||\frac{\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}}{1+\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}} [/mm] - [mm] 1||_{0,\IR} \to |\frac{e}{1+e} [/mm] - 1| [mm] \not= [/mm] 0 , [mm] n\to\infty
[/mm]
Reicht das so? Weil es gilt ja [mm] f_n \to [/mm] f, glm. [mm] \gdw ||f_n [/mm] - [mm] f||_{0,M} \to [/mm] 0 für [mm] n\to\infty.
[/mm]
Danke
Gruß Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
> ich habe mal eine kurze Frage. Wenn ich zeigen möchte, dass
> [mm]\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}[/mm] nicht auf ganz [mm]\IR[/mm] gleichmäßig
> konvergiert, kann ich dann so vorgehen:
>
> Wähle: [mm]x_{n}= 1+\frac{1}{2n}[/mm]
>
> Dann ist: [mm]||f_n(x_n)[/mm] - [mm]f(x_n)||_{0,\IR}[/mm] =
> [mm]||\frac{\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}}{1+\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}}- 1||_{0,\IR} \to |\frac{e}{1+e} - 1| \not=[/mm] 0 , [mm]n\to\infty[/mm]
>
> Reicht das so? Weil es gilt ja [mm]f_n \to[/mm] f, glm. [mm]\gdw ||f_n[/mm] -
> [mm]f||_{0,M} \to[/mm] 0 für [mm]n\to\infty.[/mm]
> Danke
> Gruß Patrick
jein, denn da sind einige Fehler, obwohl der Grundgedanke Deinerseits schon verwendet werden kann (insbesondere werde ich Deine [mm] $x_n$ [/mm] weiter verwenden). Du solltest zunächst einmal zeigen, dass die Funktionenfolge der [mm] $f_n$ [/mm] überhaupt punktweise konvergent ist, damit Du überhaupt nachher [mm] $||f-f_n||_{\infty,\IR}$ [/mm] mal berechnen kannst (man kann auch, wenn man einen Satz über den Zusammenhang mit Cauchyfolgen bzgl. [mm] $||.||_{\infty,M}$ [/mm] und der glm. Konvergenz kennt, sozusagen mit [mm] $||f_n-f_m||_{\infty,M}$ [/mm] arbeiten, aber das machst Du ja hier nicht). Die Grenzfunktion ist hier gegeben durch
[mm] $f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } |x| < 1 \\ \frac{1}{2}, & \mbox{für } |x|=1\\ 1, & \mbox{sonst} \end{cases}$
[/mm]
Und nun kannst Du damit zeigen, dass nicht [mm] $||f_n-f||_{\blue{\infty},\IR} \to [/mm] 0$ gilt (das ist die Supremumsnorm, also [mm] $||g||_{\infty,\IR}:=\sup \{|g(x)|: x \in \IR\}$).
[/mm]
Und da hilft Dir Deine Idee halt weiter:
Es gilt nämlich mit Deinen [mm] $x_n$ [/mm] von oben, weil [mm] $x_n [/mm] > 1$ und damit auch [mm] $|x_n| [/mm] > 1$ (insbesondere ist jedes [mm] $x_n$ [/mm] im Definitionsbereich von [mm] $f_n$ [/mm] und im Definitionsbereich von $f$):
[mm] $|f_n(x_n)-f(x_n)|=\left|\frac{\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}}{1+\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}}-1\right| \to \left|\frac{e}{1+e}-1\right| \not=0$
[/mm]
Du darfst hier nicht schreiben, dass [mm] $||f_n-f||_{\infty,\IR}=\left|\frac{\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}}{1+\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}}-1\right| [/mm] $ (so interpretiere ich mal Deine obige Notation), denn das folgt keineswegs.
ABER:
Du kannst ausnutzen, dass:
[mm] $|f_n(x_n)-f(x_n)| \le ||f_n-f||_{\infty,\IR}$
[/mm]
Eine kurze Begründung, dass [mm] $\left|\frac{e}{1+e}-1\right|=:c [/mm] > 0$ liefert dann wegen [mm] $|f_n(x_n)-f(x_n)| \to [/mm] c$ bei $n [mm] \to \infty$, [/mm] dass [mm] $||f_n-f||_{\infty,\IR} \not\to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Aber es geht hier auch sehr viel einfacher:
Zeige erstmal, dass mein obiges $f$ einfach die punktweise Grenzfunktion der [mm] $f_n$ [/mm] ist. Jedes [mm] $f_n$ [/mm] ist stetig auf [mm] $\IR$, [/mm] würde also [mm] $(f_n)_n$ [/mm] glm. gegen $f$ konvergieren, so müßte $f$ demnach... Aber $f$ hat offenbar Unstetigkeitsstellen an..., weil da offensichtlich...
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
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> > Hi,
> > ich habe mal eine kurze Frage. Wenn ich zeigen möchte, dass
> > [mm]\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}[/mm] nicht auf ganz [mm]\IR[/mm] gleichmäßig
> > konvergiert, kann ich dann so vorgehen:
> >
> > Wähle: [mm]x_{n}= 1+\frac{1}{2n}[/mm]
> >
> > Dann ist: [mm]||f_n(x_n)[/mm] - [mm]f(x_n)||_{0,\IR}[/mm] =
> >
> [mm]||\frac{\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}}{1+\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}}- 1||_{0,\IR} \to |\frac{e}{1+e} - 1| \not=[/mm]
> 0 , [mm]n\to\infty[/mm]
> >
> > Reicht das so? Weil es gilt ja [mm]f_n \to[/mm] f, glm. [mm]\gdw ||f_n[/mm] -
> > [mm]f||_{0,M} \to[/mm] 0 für [mm]n\to\infty.[/mm]
> > Danke
> > Gruß Patrick
>
> jein, denn da sind einige Fehler, obwohl der Grundgedanke
> Deinerseits schon verwendet werden kann (insbesondere werde
> ich Deine [mm]x_n[/mm] weiter verwenden). Du solltest zunächst
> einmal zeigen, dass die Funktionenfolge der [mm]f_n[/mm] überhaupt
> punktweise konvergent ist, damit Du überhaupt nachher
> [mm]||f-f_n||_{\infty,\IR}[/mm] mal berechnen kannst (man kann auch,
> wenn man einen Satz über den Zusammenhang mit Cauchyfolgen
> bzgl. [mm]||.||_{\infty,M}[/mm] und der glm. Konvergenz kennt,
> sozusagen mit [mm]||f_n-f_m||_{\infty,M}[/mm] arbeiten, aber das
> machst Du ja hier nicht). Die Grenzfunktion ist hier
> gegeben durch
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } |x| < 1 \\ \frac{1}{2}, & \mbox{für } |x|=1\\ 1, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
Die habe ich auch schon so und da ich ziemlich sicher war, dass die Grenzfunktion stimmt habe ich es hier nicht mehr erwähnt. 
> Und nun kannst Du damit zeigen, dass nicht
> [mm]||f_n-f||_{\blue{\infty},\IR} \to 0[/mm] gilt (das ist die
> Supremumsnorm, also [mm]||g||_{\infty,\IR}:=\sup \{|g(x)|: x \in \IR\}[/mm]).
>
> Und da hilft Dir Deine Idee halt weiter:
> Es gilt nämlich mit Deinen [mm]x_n[/mm] von oben, weil [mm]x_n > 1[/mm] und
> damit auch [mm]|x_n| > 1[/mm] (insbesondere ist jedes [mm]x_n[/mm] im
> Definitionsbereich von [mm]f_n[/mm] und im Definitionsbereich von
> [mm]f[/mm]):
>
> [mm]|f_n(x_n)-f(x_n)|=\left|\frac{\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}}{1+\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}}-1\right| \to \left|\frac{e}{1+e}-1\right| \not=0[/mm]
>
> Du darfst hier nicht schreiben, dass
> [mm]||f_n-f||_{\infty,\IR}=\left|\frac{\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}}{1+\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}}-1\right|[/mm]
> (so interpretiere ich mal Deine obige Notation), denn das
> folgt keineswegs.
>
> ABER:
> Du kannst ausnutzen, dass:
>
> [mm]|f_n(x_n)-f(x_n)| \le ||f_n-f||_{\infty,\IR}[/mm]
>
> Eine kurze Begründung, dass [mm]\left|\frac{e}{1+e}-1\right|=:c > 0[/mm]
> liefert dann wegen [mm]|f_n(x_n)-f(x_n)| \to c[/mm] bei [mm]n \to \infty[/mm],
> dass [mm]||f_n-f||_{\infty,\IR} \not\to 0[/mm] bei [mm]n \to \infty[/mm].
>
Also ich fasse es nochmal in Worten zusammen. Ich zeige, dass [mm] |f_n(x_n)-f(x_n)| [/mm] nicht gegen 0 konvergiert für [mm] n\to\infty, [/mm] für obiges [mm] x_n. [/mm] Und da die Supremumsnorm sowieso größer ist kann [mm] ||f_n-f||_{\infty,\IR} [/mm] erst recht nicht gegen Null laufen.
> Aber es geht hier auch sehr viel einfacher:
>
> Zeige erstmal, dass mein obiges [mm]f[/mm] einfach die punktweise
> Grenzfunktion der [mm]f_n[/mm] ist. Jedes [mm]f_n[/mm] ist stetig auf [mm]\IR[/mm],
> würde also [mm](f_n)_n[/mm] glm. gegen [mm]f[/mm] konvergieren, so müßte [mm]f[/mm]
> demnach... f stetig sein. Aber [mm]f[/mm] hat offenbar Unstetigkeitsstellen an... x=1,
> weil da offensichtlich...
Das die Grenzfunktion unstetig ist, ist mir auch klar. Das lässt sich hier ja auch relativ einfach mit dem Folgenkriterium nachweisen. Ich wusste nur nicht, ob die Unstetigkeit von f ausreicht, damit [mm] f_n [/mm] nicht gleichmäßig konvergiert. Wir hatten den Satz nur andersrum und ich war mir nicht sicher, ob man ihn einfach verneinen kann.
Und mir gings es bei der Frage auch hauptsächlich um den tatsächlichen Nachweis, dass [mm] f_n [/mm] nicht glm. konvergiert.
Danke dir, Gruß Patrick.
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Patrick,
> > Hallo,
> >
> > > Hi,
> > > ich habe mal eine kurze Frage. Wenn ich zeigen möchte, dass
> > > [mm]\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}[/mm] nicht auf ganz [mm]\IR[/mm] gleichmäßig
> > > konvergiert, kann ich dann so vorgehen:
> > >
> > > Wähle: [mm]x_{n}= 1+\frac{1}{2n}[/mm]
> > >
> > > Dann ist: [mm]||f_n(x_n)[/mm] - [mm]f(x_n)||_{0,\IR}[/mm] =
> > >
> >
> [mm]||\frac{\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}}{1+\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}}- 1||_{0,\IR} \to |\frac{e}{1+e} - 1| \not=[/mm]
> > 0 , [mm]n\to\infty[/mm]
> > >
> > > Reicht das so? Weil es gilt ja [mm]f_n \to[/mm] f, glm. [mm]\gdw ||f_n[/mm] -
> > > [mm]f||_{0,M} \to[/mm] 0 für [mm]n\to\infty.[/mm]
> > > Danke
> > > Gruß Patrick
> >
> > jein, denn da sind einige Fehler, obwohl der Grundgedanke
> > Deinerseits schon verwendet werden kann (insbesondere werde
> > ich Deine [mm]x_n[/mm] weiter verwenden). Du solltest zunächst
> > einmal zeigen, dass die Funktionenfolge der [mm]f_n[/mm] überhaupt
> > punktweise konvergent ist, damit Du überhaupt nachher
> > [mm]||f-f_n||_{\infty,\IR}[/mm] mal berechnen kannst (man kann auch,
> > wenn man einen Satz über den Zusammenhang mit Cauchyfolgen
> > bzgl. [mm]||.||_{\infty,M}[/mm] und der glm. Konvergenz kennt,
> > sozusagen mit [mm]||f_n-f_m||_{\infty,M}[/mm] arbeiten, aber das
> > machst Du ja hier nicht). Die Grenzfunktion ist hier
> > gegeben durch
> >
> > [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } |x| < 1 \\ \frac{1}{2}, & \mbox{für } |x|=1\\ 1, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> >
> Die habe ich auch schon so und da ich ziemlich sicher war,
> dass die Grenzfunktion stimmt habe ich es hier nicht mehr
> erwähnt.
>
> > Und nun kannst Du damit zeigen, dass nicht
> > [mm]||f_n-f||_{\blue{\infty},\IR} \to 0[/mm] gilt (das ist die
> > Supremumsnorm, also [mm]||g||_{\infty,\IR}:=\sup \{|g(x)|: x \in \IR\}[/mm]).
>
> >
> > Und da hilft Dir Deine Idee halt weiter:
> > Es gilt nämlich mit Deinen [mm]x_n[/mm] von oben, weil [mm]x_n > 1[/mm]
> und
> > damit auch [mm]|x_n| > 1[/mm] (insbesondere ist jedes [mm]x_n[/mm] im
> > Definitionsbereich von [mm]f_n[/mm] und im Definitionsbereich von
> > [mm]f[/mm]):
> >
> >
> [mm]|f_n(x_n)-f(x_n)|=\left|\frac{\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}}{1+\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}}-1\right| \to \left|\frac{e}{1+e}-1\right| \not=0[/mm]
>
> >
> > Du darfst hier nicht schreiben, dass
> >
> [mm]||f_n-f||_{\infty,\IR}=\left|\frac{\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}}{1+\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}}-1\right|[/mm]
> > (so interpretiere ich mal Deine obige Notation), denn das
> > folgt keineswegs.
> >
> > ABER:
> > Du kannst ausnutzen, dass:
> >
> > [mm]|f_n(x_n)-f(x_n)| \le ||f_n-f||_{\infty,\IR}[/mm]
> >
> > Eine kurze Begründung, dass [mm]\left|\frac{e}{1+e}-1\right|=:c > 0[/mm]
> > liefert dann wegen [mm]|f_n(x_n)-f(x_n)| \to c[/mm] bei [mm]n \to \infty[/mm],
> > dass [mm]||f_n-f||_{\infty,\IR} \not\to 0[/mm] bei [mm]n \to \infty[/mm].
>
> >
> Also ich fasse es nochmal in Worten zusammen. Ich zeige,
> dass [mm]|f_n(x_n)-f(x_n)|[/mm] nicht gegen 0 konvergiert für
> [mm]n\to\infty,[/mm] für obiges [mm]x_n.[/mm] Und da die Supremumsnorm
> sowieso größer
im Sinne von [mm] $\ge [/mm] $
> ist kann [mm]||f_n-f||_{\infty,\IR}[/mm] erst recht
> nicht gegen Null laufen.
Diese Argumenation sollte auch gehen, aber dabei ist's wichtig, zu beachten, dass [mm] $\left(\left|\frac{\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}}{1+\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}}-1\right|\right)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge in $[0, [mm] \infty)$ [/mm] ist (die keine Nullfolge ist). Aber wenn ich mir das obige angucke:
Es gibt ja insbesondere zu [mm] $\varepsilon:=\frac{c}{2} [/mm] > 0$ ein [mm] $n_0 \in \IN$, [/mm] so dass [mm] $\varepsilon [/mm] < [mm] |f_n(x_n)-f(x_n)| \le ||f_n-f||_{\infty,\IR}$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_0$, [/mm] daher muss [mm] $||f_n-f||_{\infty,\IR} \not\to [/mm] 0$ gelten (weil ja [mm] $||f_n-f||_{\infty,\IR} [/mm] > [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_0$).
[/mm]
>
>
> > Aber es geht hier auch sehr viel einfacher:
> >
> > Zeige erstmal, dass mein obiges [mm]f[/mm] einfach die punktweise
> > Grenzfunktion der [mm]f_n[/mm] ist. Jedes [mm]f_n[/mm] ist stetig auf [mm]\IR[/mm],
> > würde also [mm](f_n)_n[/mm] glm. gegen [mm]f[/mm] konvergieren, so müßte [mm]f[/mm]
> > demnach... f stetig sein. Aber [mm]f[/mm] hat offenbar
> Unstetigkeitsstellen an... x=1,
> > weil da offensichtlich...
>
> Das die Grenzfunktion unstetig ist, ist mir auch klar. Das
> lässt sich hier ja auch relativ einfach mit dem
> Folgenkriterium nachweisen. Ich wusste nur nicht, ob die
> Unstetigkeit von f ausreicht, damit [mm]f_n[/mm] nicht gleichmäßig
> konvergiert. Wir hatten den Satz nur andersrum und ich war
> mir nicht sicher, ob man ihn einfach verneinen kann.
>
> Und mir gings es bei der Frage auch hauptsächlich um den
> tatsächlichen Nachweis, dass [mm]f_n[/mm] nicht glm. konvergiert.
Da schmeißt Du etwas durcheinander. Wenn ich eine Folgerung $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ habe, dann ist äquivalent dazu: [mm] $(\mbox{nicht } [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\mbox{nicht } [/mm] A)$.
Ihr hattet sicher die Folgerung $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ mit folgenden Aussagen (grob), wobei (wieder grob gesagt) $f$ punktweise Grenzfunktion:
$A$: Alle [mm] $f_n$ [/mm] sind stetig und [mm] $(f_n)_n$ [/mm] konvergiere glm. gegen $f$
$B$: $f$ ist stetig.
Hier ist $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$:
"Wenn alle [mm] $f_n$ [/mm] stetig sind und [mm] $(f_n)_n$ [/mm] glm. gegen $f$ konvergiere, dann ist auch $f$ stetig."
Äquivalent dazu:
[mm] $(\mbox{nicht } [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\mbox{nicht } [/mm] A)$:
"Wenn $f$ unstetig ist, dann gibt es unstetige [mm] $f_n$ [/mm] oder [mm] $(f_n)_n$ [/mm] konvergiert nicht glm. gegen $f$".
Wenn Du sagst, ihr habt den Satz in obiger Version $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ bewiesen und behauptest nun, dass wir hier dessen Negation anwenden, dann ist das falsch.
Die Negation von $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ ist [mm] $(\mbox{nicht }A) \Rightarrow (\mbox{nicht }B)$, [/mm] was das gleiche ist wie $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ (das erkennt man wieder wegen der Äquivalenz zu einer Kontraposition und "weil eine doppelte Verneinung aussagenlogisch eine Bejahung ist").
Bitte, mach' Dir den Unterschied zwischen dem Begriff der Negation und der Kontraposition klar. Oben habe ich die Kontraposition von $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ angewendet, sie ist äquivalent zu $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ und lautet einfach [mm] $(\mbox{nicht } [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\mbox{nicht } [/mm] A)$.
Du kannst es Dir mit dem Satz aber auch so überlegen (und diese Überlegung passt "logisch" ja auch, es ist eine "Verschleierung" der Anwendung der Kontraposition):
"Angenommen, die Folge [mm] $(f_n)_n$ [/mm] wäre glm. konvergent gegen $f$. Dann lieferte Satz ... auch, weil hier offenbar alle [mm] $f_n$ [/mm] stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] sind, dass die punktweise Grenzfunktion $f$ (s.o.) stetig sein müsste. Diese hat aber Unstetigkeitsstellen (an ...). Widerspruch."
Oft wird das so gemacht, dass man einen Beweis durch Kontraposition so als Widerspruchsbeweis verschleiert.
Noch eine Sache:
Wenn Du mithilfe dieses Satzes arbeitest und den Beweis durch Kontraposition so als Widerspruchsbeweis verschleierst, hast Du natürlich auch zu prüfen, dass die [mm] $f_n$ [/mm] den Voraussetzungen genügen, d.h. hier: dass alle [mm] $f_n$ [/mm] auch stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] sind. Das ist aber ziemlich offensichtlich...
P.S.:
Ansonsten sind Deine Ergänzungen natürlich korrekt 
(Eine weitere Unstetigkeitsstelle von $f$ liegt übrigens an $-1$ vor.)
Gruß,
Marcel
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