negative werte kompl. fkt. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] h(z)=\frac{z-z_1}{z-z_2} [/mm] sei eine komplexe Funtkion und [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 \in \IC.
[/mm]
Auf welcher Teilmenge von [mm] \IC [/mm] nimmt die Funktion negativ reelle Werte an? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
meine Idee war:
[mm] \frac{z-z_1}{z-z_2}\in \IR_{<0} [/mm] <=> [mm] Arg(\frac{z-z_1}{z-z_2})=\pi
[/mm]
[mm] \frac{z-z_1}{z-z_2} [/mm] = [mm] Arg(z-z_1)-Arg(z-z_2) [/mm] (mod [mm] 2\pi)
[/mm]
D.h. der Winkelunterschied zwischen Zähler und Nenner muss [mm] \pi [/mm] betragen.
Da ich aber eine Bediungung für z finden will, müsste ich ja
[mm] \frac{z-z_1}{z-z_2} [/mm] = [mm] Arg(z-z_1)-Arg(z-z_2) [/mm] (mod [mm] 2\pi)
[/mm]
nach z auflösen. Hier bleibe ich aber stecken.
LG,
HP
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> [mm]h(z)=\frac{z-z_1}{z-z_2}[/mm] sei eine komplexe Funtkion und [mm]z_1[/mm]
> und [mm]z_2 \in \IC.[/mm]
>
> Auf welcher Teilmenge von [mm]\IC[/mm] nimmt die Funktion negativ
> reelle Werte an?
> Hallo,
>
> meine Idee war:
>
> [mm]\frac{z-z_1}{z-z_2}\in \IR_{<0}[/mm] <=>
> [mm]Arg(\frac{z-z_1}{z-z_2})=\pi[/mm]
>
> [mm]\frac{z-z_1}{z-z_2}[/mm] = [mm]Arg(z-z_1)-Arg(z-z_2)[/mm] (mod [mm]2\pi)[/mm]
>
> D.h. der Winkelunterschied zwischen Zähler und Nenner muss
> [mm]\pi[/mm] betragen.
>
hallo HP,
das überlegt man sich am besten anschaulich in der
Gauss- Ebene. [mm] z-z_1 [/mm] entspricht dem Pfeil vom Punkt [mm] z_1
[/mm]
zum Punkt z, [mm] z-z_2 [/mm] demjenigen von [mm] z_2 [/mm] nach z.
Wegen dem Winkelunterschied [mm] \pi [/mm] müssen diese Pfeile
entgegengesetzte Richtungen haben. Sie treffen Spitze
gegen Spitze im Punkt z zusammen.
Daraus folgt, dass z auf der Verbindungsstrecke zwischen
[mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] liegen muss (Endpunkte ausgeschlossen,
weil der Quotient für [mm] z=z_2 [/mm] nicht definiert und für [mm] z=z_1
[/mm]
gleich null, also nicht negativ ist).
LG
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Jetzt habe ich doch noch eine Frage. Wenn ich diese Menge "mathematisch" aufschreiben will, ist dann folgendes ok?
[mm] \{\lambda(z_1- z_2) | \lambda \in (0;1)\}
[/mm]
LG,
HP
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> Jetzt habe ich doch noch eine Frage. Wenn ich diese Menge
> "mathematisch" aufschreiben will, ist dann folgendes ok?
>
> [mm]\{\lambda(z_1- z_2) | \lambda \in (0;1)\}[/mm]
>
> LG,
> HP
nicht ganz ...
[mm]\{z_2+\lambda(z_1- z_2)\ |\ \lambda \in (0;1)\}[/mm]
Gruß 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:26 Do 09.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Al-Chwarizmis Antwort die folgende Rechnung:
[mm] \bruch{z-z_1}{z-z_2} [/mm] = t <0 [mm] \gdw z-z_1 [/mm] = [mm] t(z-z_2) \gdw
[/mm]
(1-t)z = [mm] (1-t)z_1+t(z_1-z_2) \gdw [/mm] z = [mm] z_1 +\bruch{t}{t-1}(z_2-z_1) [/mm] = z = [mm] z_1 +s(z_2-z_1) [/mm] ,
wobei s = [mm] \bruch{t}{t-1}.
[/mm]
Die Abb. t --> [mm] \bruch{t}{t-1} [/mm] bildet das Intervall [mm] (-\infty,0) [/mm] bijektiv auf das Intervall (0,1) ab.
Fazit: [mm] \bruch{z-z_1}{z-z_2} [/mm] ist [mm] \in \IR [/mm] und <0 [mm] \gdw
[/mm]
z [mm] \in [/mm] { [mm] z_1 +s(z_2-z_1): [/mm] s [mm] \in [/mm] (0,1)} ( "offene" Verbindungstrecke von [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2)
[/mm]
FRED
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