natürliche, rationale Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 So 24.04.2005 | | Autor: | Binu |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo an alle da draussen! Gehöre zu den Erstis, die nun in ihren Mathe - Kursen sitzen und nur noch Bahnhof verstehen..hoffe mir kann irgendjemand behilflich sein..
1.a) Zeigen sie: Ist eine natürliche Zahl n durch 3 teilbar, so ist auch ihr Quadrat [mm] n^2 [/mm] durch 3 teilbar.
(Lösungsansatz: n=2q, q=3k
n=2*3k=6k=3/6k
[mm] n^2=(2*3k)^2=36k^2=3/36k^2) [/mm] Bin ich da auf dem richtigen Weg?
1.b) Zeigen sie: Ist eine natürliche Zahl n nicht durch 3 teilbar, so ist auch ihr Quadrat [mm] n^2 [/mm] nicht durch 3 teilbar.
2.) Verwenden sie 1), um zu zeigen: Es gibt keine rationale Zahö p, für die [mm] p^2=3 [/mm] ist.
(Lösungsansatz:Weiss nur, dass Wurzel 3 irrational ist ;-(.)
3.) Zeigen sie: Es gibt keine rationale Zahl p, für die [mm] p^3=2 [/mm] ist.
4.) p, q, r seine Primzahlen, und k, l, m seien positive, natürliche Zahlen. Ferner sei [mm] z:=p^k*q^*l*r^m [/mm] eine Quadratzahl, also [mm] z:=x^2 [/mm] mit einer natürlichen Zahl x. Was können sie dann über k, l und m sagen?
(Lösungsansatz: k, l und m müssen gerade sein)
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo an alle da draussen! Gehöre zu den Erstis, die nun in
> ihren Mathe - Kursen sitzen und nur noch Bahnhof
> verstehen..hoffe mir kann irgendjemand behilflich sein..
> 1.a) Zeigen sie: Ist eine natürliche Zahl n durch 3
> teilbar, so ist auch ihr Quadrat [mm]n^2[/mm] durch 3 teilbar.
>
> (Lösungsansatz: n=2q, q=3k
> n=2*3k=6k=3/6k
das soll vermutlich: $n=2*3k=6k\ [mm] \Rightarrow\ [/mm] 3|6k$ heißen!?
> [mm]n^2=(2*3k)^2=36k^2=3/36k^2)[/mm] Bin
> ich da auf dem richtigen Weg?
Nö.
Wenn gefragt worden wäre: "Ist eine gerade natürliche Zahl n durch 3 teilbar...", dann würde der Ansatz mit $n=2q$ Sinn machen. So ist das aber falsch, weil Du die ungeradzahligen Vielfachen von 3 nicht berücksichtigst.
Der richtige Ansatz (und Subminiaturbeweis) ist also:
$3|n\ [mm] \Rightarrow\ n=3k,\,k \in \IN\ \Rightarrow\ n^2 [/mm] =9k\ [mm] \Rightarrow\ 3|n^2$ [/mm] wegen $3|9$.
> 1.b) Zeigen sie: Ist eine natürliche Zahl n nicht durch 3
> teilbar, so ist auch ihr Quadrat [mm]n^2[/mm] nicht durch 3
> teilbar.
Hier gebe ich Dir (erst mal) nur den Ansatz:
3 teilt n nicht [mm] $\gdw$ [/mm] n hat bei der Division durch 3 den Rest 1 oder 2.
Also ist entweder $n=3k+1$ oder $n=3k+2$ mit $k [mm] \in \IN$.
[/mm]
Jetzt mußt Du für die beiden Fälle jeweils [mm] $n^2$ [/mm] und den Rest davon bei Division durch 3 berechnen.
> 2.) Verwenden sie 1), um zu zeigen: Es gibt keine rationale
> Zahl p, für die [mm]p^2=3[/mm] ist.
>
> (Lösungsansatz:Weiss nur, dass Wurzel 3 irrational ist
> ;-(.)
Genau das sollst Du ja beweisen.
In Aufgabe eins ging es darum, den Ansatz zu finden, wie sich eine Zahl n mit bestimmten Eigenschaften (Rest bei Div. durch 3) allgemein darstellen lässt, um mit dieser Darstellung weiterzurechnen und so Eigenschaften von [mm] $n^2$ [/mm] zu erhalten.
Hier ist es ähnlich: jede rationale Zahl $p>0$ lässt sich eindeutig als Quotient zweier teilerfremder natürlicher Zahlen darstellen:
[mm] $p=\bruch{m}{n}$ [/mm] mit $m,n [mm] \in \IN$ [/mm] und $ggT(m,n)=1$.
Na, einen kleinen Wegweiser will ich Dir noch geben: Wenn Du mit dieser Darstellung von p unter der Voraussetzung [mm] $p^2 [/mm] = 3$ weitermachst, solltest Du dahin kommen, dass m und n doch nicht teilerfremd sind, was ein Widerspruch zur Annahme ist. Also kann es kein p in der oben genannten Form geben, dessen Quadrat 3 ist.
Dies ist eine recht häufig verwendete Beweismethode und hat die Namen "Beweis durch Widerspruch" und/oder "indirekter Beweis".
Das muss an Hilfe zu (2) vorerst wirklich reichen.
> 3.) Zeigen sie: Es gibt keine rationale Zahl p, für die
> [mm]p^3=2[/mm] ist.
müsste ähnlich funzen, wie 2.
> 4.) p, q, r seien Primzahlen, und k, l, m seien positive,
> natürliche Zahlen. Ferner sei [mm]z:=p^k*q^*l*r^m[/mm] eine
> Quadratzahl, also [mm]z:=x^2[/mm] mit einer natürlichen Zahl x. Was
> können sie dann über k, l und m sagen?
>
> (Lösungsansatz: k, l und m müssen gerade sein)
Das ist eher das Ergebnis. Ansatz ist die Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung.
Na denn man tau ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
und viel Erfolg
Peter
P.S. wenns hakt, nachfragen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Binu |
Erst einmal ein ganz grosses "Danke schön" für die tollen Tipps, dennoch komme ich bei Aufgabe 1.b) nicht so ganz [mm] weiter..n^2 [/mm] berechnen ist klar, aber was ist gemeint mit "dem Rest davon bei Division durch 3 berechnen"?
Und wenn du mir bei Aufgabe 2 nochmal helfen könntest, wäre das echt super, dann klappt Aufgabe 3 auch bestimmt ohne Hilfe - hoffe ich - ;-( Wenn [mm] p^2=m^2/n^2 [/mm] ist, wie bringe ich dann die 3 noch unter?
Steh bei diesen Aufgaben echt total auf dem Schlauch..Vielen vielen Dank im vorraus..
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Gruß!
Also gut, noch etwas mehr Schützenhilfe:
Angenommen, die Zahl $n$ ist nicht durch 3 teilbar. Dann gilt: $n = 3k + 1$ oder $n = 3k + 2$ für irgendein $k$. (Also $n$ lässt entweder Rest 1 oder 2 bei Division durch 3).
Fall 1: $n = 3k + 1$. Dann ist [mm] $n^2 [/mm] = (3k + [mm] 1)^2 [/mm] = [mm] 9k^2 [/mm] + 6k + 1$
Die ersten beiden Summanden sind durch 3 teilbar, daher lässt auch [mm] $n^2$ [/mm] bei Division durch 3 den Rest 1.
Fall 2: $n = 3k + 2$ ... kannst Du den jetzt selbst?
Zur zweiten Aufgabe: Angenommen $p$ ist eine rationale Zahl mit [mm] $p^2 [/mm] = 3$. Seien $m,n$ teilerfremd gegeben mit $p = [mm] \frac{m}{n}$ [/mm] (gekürzte Darstellung als Bruch). Dann folgt:
$3 = [mm] p^2 [/mm] = [mm] \frac{m^2}{n^2}$ [/mm] oder anders geschrieben: [mm] $3n^2 [/mm] = [mm] m^2$.
[/mm]
Damit ist [mm] $m^2$ [/mm] durch 3 teilbar. Also ist auch $m$ durch 3 teilbar, nach Aufgabe 1 (da haben wir gesehen, dass falls $m$ nicht durch 3 teilbar ist, dann auch nicht [mm] $m^2$!). [/mm] Also ist $m = 3k$ für irgendein $k$. Das setzen wir ein:
[mm] $3n^2 [/mm] = [mm] m^2 [/mm] = [mm] (3k)^2 [/mm] = 9 [mm] k^2$
[/mm]
Diese Gleichung kann man durch 3 dividieren. Es ergibt sich: [mm] $n^2 [/mm] = 3 [mm] k^2$.
[/mm]
Nach dem gleichen Schluss wie eben folgt: [mm] $n^2$ [/mm] ist durch 3 teilbar, also auch $n$.
Hoppla! Wir hatten doch verlangt, dass $m$ und $n$ teilerfremd sind, der Bruch also gekürzt ist! Wie können dann $m$ und $n$ beide durch 3 teilbar sein? Ein Widerspruch. Also kann $p$ nicht rational sein...
Viel Spaß beim Rest! 
Lars
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