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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Do 01.03.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, ich beschäftige mich gerade mit dem Begriff "natürliche Topologie".
Ich würde gerne wissen, ob ich den Begriff richtig verstanden habe.
Man guckt sozusagen, welche Teilmengen halt die offenen Mengen sind und konstruiert dann eine Topologie daraus und zwar, indem man die euklidische Metrik benutzt, also:
Sei etwa [mm] $X=\mathbb R^n$, [/mm] dann weiß man, daß bezüglich der euklidischen Metrik auf X Folgendes gilt:
[mm] $U\subseteq [/mm] X$ offen, genau dann, wenn es zu jedem [mm] $x\in [/mm] U$ ein [mm] $\epsilon\in\mathbb R_{>0}$ [/mm] gibt mit [mm] $\left\{y\in X~|~d(x,y)<\epsilon\right\}\subseteq [/mm] U$.
Dann ist einfach
[mm] $\left\{U\subseteq X~|~U~\text{offen}\right\}$ [/mm] eine Topologie auf X (da ja bei einem metrischen Raum bel. Vereinigungen offener Mengen offen sind, und endliche Schnitt offen und X und leere Menge selbst offen sind.
Aber man kann das doch auch so schreiben:
[mm] $\left\{U\subseteq X~|~\text{U ist Vereinigung von offenen Kugeln in (X,d)}\right\}$.
[/mm]
Also etwas salopp formuliert:
Die natürliche Topologie ist die von der euklidischen Metrik induzierte Topologie.
Korrekt? |
Wie sieht das bei [mm] $X=\mathbb [/mm] R$ aus?
Da würde ich sagen: Man weiß direkt, daß die offenen Mengen diejenigen sind, die man als Vereinigung abzählbar vieler offener Intervalle schreiben kann.
Also kann man auch direkt schreiben:
Die natürliche Topologie ("natürlich" hier im Sinne von "irgendwie gleich einleuchtend") ist:
[mm] $\left\{A\subseteq\mathbb R~|~\text{A ist Vereinigung abzählbar vieler Intervalle der Form}~(a,b), a,b\in\mathbb R\right\}$
[/mm]
Das ist doch aber sozusagen ein "Sonderfall", weil man hier genau weiß, wie die offenen Mengen von [mm] $\mathbb [/mm] R$ aussehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Do 01.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich beschäftige mich gerade mit dem Begriff
> "natürliche Topologie".
>
> Ich würde gerne wissen, ob ich den Begriff richtig
> verstanden habe.
>
> Man guckt sozusagen, welche Teilmengen halt die offenen
> Mengen sind und konstruiert dann eine Topologie daraus und
> zwar, indem man die euklidische Metrik benutzt, also:
Ja, im Falle des [mm] \IR^n [/mm] (oder [mm] \IC^n)
[/mm]
>
>
> Sei etwa [mm]X=\mathbb R^n[/mm], dann weiß man, daß bezüglich der
> euklidischen Metrik auf X Folgendes gilt:
>
> [mm]U\subseteq X[/mm] offen, genau dann, wenn es zu jedem [mm]x\in U[/mm] ein
> [mm]\epsilon\in\mathbb R_{>0}[/mm] gibt mit [mm]\left\{y\in X~|~d(x,y)<\epsilon\right\}\subseteq U[/mm].
Ja, so kann man eine Topologie auf [mm] \IR^n [/mm] definieren.
>
> Dann ist einfach
>
> [mm]\left\{U\subseteq X~|~U~\text{offen}\right\}[/mm] eine Topologie
> auf X
Ja
> (da ja bei einem metrischen Raum bel. Vereinigungen
> offener Mengen offen sind, und endliche Schnitt offen und X
> und leere Menge selbst offen sind.
>
> Aber man kann das doch auch so schreiben:
>
> [mm]\left\{U\subseteq X~|~\text{U ist Vereinigung von offenen Kugeln in (X,d)}\right\}[/mm].
Ja, das kannst Du so schreiben.
>
>
> Also etwas salopp formuliert:
>
> Die natürliche Topologie ist die von der euklidischen
> Metrik induzierte Topologie.
>
> Korrekt?
Ja
> Wie sieht das bei [mm]X=\mathbb R[/mm] aus?
Da nimmt mann die Metrik d(x,y)=|x-y|
>
> Da würde ich sagen: Man weiß direkt, daß die offenen
> Mengen diejenigen sind, die man als Vereinigung abzählbar
> vieler offener Intervalle schreiben kann.
>
> Also kann man auch direkt schreiben:
>
> Die natürliche Topologie ("natürlich" hier im Sinne von
> "irgendwie gleich einleuchtend") ist:
>
> [mm]\left\{A\subseteq\mathbb R~|~\text{A ist Vereinigung abzählbar vieler Intervalle der Form}~(a,b), a,b\in\mathbb R\right\}[/mm]
Das stimmt. Kannst Du das auch zeigen , insbes. warum "abzählbar" reicht ?
>
>
> Das ist doch aber sozusagen ein "Sonderfall", weil man hier
> genau weiß, wie die offenen Mengen von [mm]\mathbb R[/mm]
> aussehen?
Wieso sonderfall ?
Die eukl. Metrik auf dem [mm] \IR^n [/mm] ist gegeben durch:
[mm] d(x,y)=(\summe_{i=1}^{n}|x_i-y_i|^2)^{1/2}
[/mm]
[mm] (x=(x_1,...,x_n), y=(y_1,...,y_n))
[/mm]
Schreib das mal für n=1 auf
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Do 01.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Ach, stimmt ja, es ist ja bei [mm] $X=\mathbb [/mm] R$ genauso:
Die natürliche Topologie ist dann
[mm] $\left\{U\subseteq X~|~\text{U offen}\right\}=\left\{U\subseteq X~|~\text{U ist Vereinigung offener Kugeln in (\mathbb R, d)}\right\}$ [/mm] und die offenen Kugeln in [mm] $\mathbb [/mm] R$ sind ja gerade die offenen Intervalle.
Korrekt?
Ich kann im Moment das mit dem "abzählbar viel" nicht zeigen, aber ich versuche das noch. Ich hatte diese Tatsache einfach aus dem Boto von Querenburg übernommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Do 01.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ach, stimmt ja, es ist ja bei [mm]X=\mathbb R[/mm] genauso:
>
> Die natürliche Topologie ist dann
>
> [mm]\left\{U\subseteq X~|~\text{U offen}\right\}=\left\{U\subseteq X~|~\text{U ist Vereinigung offener Kugeln in (\mathbb R, d)}\right\}[/mm]
> und die offenen Kugeln in [mm]\mathbb R[/mm] sind ja gerade die
> offenen Intervalle.
>
> Korrekt?
Ja
FRED
>
>
>
>
> Ich kann im Moment das mit dem "abzählbar viel" nicht
> zeigen, aber ich versuche das noch. Ich hatte diese
> Tatsache einfach aus dem Boto von Querenburg übernommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Do 01.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Dann hängen metrische und topologische Räume also in der Weise zusammen, daß die offenen Mengen der metrischen Räume eine Topologie auf der Menge X bilden?
(Metrische Räume sind also spezielle topologische Räume.)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:59 Fr 02.03.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Dann hängen metrische und topologische Räume also in der
> Weise zusammen, daß die offenen Mengen der metrischen
> Räume eine Topologie auf der Menge X bilden?
Genau.
Jede Metrik liefert eine Topologie. Verschiedene Metriken koennen die gleiche Topologie liefern (sie heissen dann aequivalent), muessen sie aber nicht. Und es gibt auch Topologien, die von keiner Metrik kommen.
> (Metrische Räume sind also spezielle topologische Räume.)
Ja.
LG Felix
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