n über k < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Schönen guten Tag,
bin grade dabei, eine Klausur vorzubereiten und verstehe dieses n über k nicht. In unserem Buch ist eine Erklärung, die ich aber von hinten bis vorn nicht durchblicke. Ich weiß, daß n bei zB. einer Urnenziehung für die Anzahl der unterscheidbaren Kugeln steht und daß k mal gezogen wird. Weiß auch, daß n über k bedeutet: n! : k!(n-k)!
Was soll das heißen?
In welchem Fall benutzt man diesen Rechenweg.
Da ich im Moment sehr aufgeschmissen bin, würde ich mich über eine schnelle Antwort freuen. Vielen Dank,
GoT
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Mo 12.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Godoftrance,
auch dich heiße ich herzlich willkommen in unserem kleinen MatheRaum! 
Welche Erklärung steht denn in deinem Mathe-Buch, nicht dass ich hier dieselbe Erklärung gebe.
1. Anwendung
Angenommen, du möchtest aus einer Gruppe von n Menschen eine kleinere Gruppe mit k Menschen zusammenstellen, zum Beispiel aus den 30 (=n) Schülern einer Klasse eine Fußballmannschaft von 11 (=k) Spielern.
Dann gibt der Binomialkoeffizient [mm] { n \choose k} [/mm] an, wie wiele verschiedene Fußballmannschaften du bilden kannst.
Ein bisschen formaler: Ich nummeriere die Schüler der Einfachheit halber mit [mm] \{1,2,3,4,\ldots,30\} [/mm]. Dann wäre eine mögliche Fußballmannschaft:
1. Möglichkeit: [mm] \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\} [/mm]
2. Möglichkeit: [mm] \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12\} [/mm]
3. Möglichkeit: [mm] \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,13\} [/mm]
[mm] \vdots[/mm]
[mm]{30\choose 11}[/mm]. Möglichkeit: [mm] \{20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30\} [/mm]
Diese Liste von Fußballmannschaften ist also [mm] {30\choose 11} = 54.637.300[/mm] Fußballmannschaften lang.
2. Anwendung
Ein bißchen abstrakter kann man also die Binomialkoeffizienten dazu benutzen, die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge zu bestimmen.
Die Menge [mm] \{1,2,3,4,\ldots,30\} [/mm] hat also [mm]{30\choose 11}[/mm] Teilmengen, die 11 Elemente enthalten.
3. Berechnung
Die Formel zur Berechnung des Binomialkoeffizienten hast du ja bereits mitgeliefert, du scheinst aber noch nicht so richtig damit umgehen zu können. Also, die Formel lautet ja
[mm] {n\choose k} = \frac{n!}{k!*(n-k)!} [/mm]
Dabei bedeutet [mm] n! [/mm] die Fakultät von n, genauer: [mm] n! = 1*2*3*\ldots*n [/mm]. Zum Beispiel ist [mm] 5! = 1*2*3*4*5 = 120 [/mm].
Für das Beispiel oben würdest du also rechnen:
[mm] {30\choose 11} = \frac{30!}{11!*(30-11)!}[/mm]
[mm] = \frac{30!}{11!*19!}[/mm]
[mm] = \frac{30*29*\ldots*20*19!}{11!*19!} [/mm] (denn: [mm] 30! = 30*29*28*\ldots*20*19*18*\ldots*1 = 30*29*28*\ldots*20*19! [/mm])
[mm] = \frac{30*29*\ldots*20}{11!} [/mm]
[mm] = \frac{30*29*28*27*26*25*24*23*22*21*20}{11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1} [/mm]
(kürzen!)
[mm] = 54.637.300 [/mm]
4. Beweis
Der Beweis der Formel ist nicht so schwierig, wenn du Interesse hast, schreibe ich ihn auch noch auf.
Ich hoffe, das hat dir weiter geholfen, falls nicht, frage einfach wieder nach
Alles Gute,
Marc.
|
|
|
| |
|
Hey Marc,
erstmal nen schönen Dank für die schnelle und kompetente Antwort.
Hast mir/uns auf jeden Fall schon mal weitergeholfen.
Wäre nett, könntest Du uns diesen Beweis auch noch zukommen lassen.
Vielen Dank,
GoT
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Mo 12.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo GoT,
der Beweis ist -- wie angekündigt -- nicht so schwierig, wegen meiner ausführlichen Erklärungen ist er aber etwas lang ausgefallen.
Stelle dir die n-elementige Menge [mm] N=\{1,2,3,\ldots,n\} [/mm] vor, aus der wir jetzt eine k-elementige Teilmenge bilden wollen (falls dir das zu abstrakt ist, stelle dir die Schüler und die Fußballmanschaft vor und für n und k feste Zahlen, beispielsweise n=30 und k=11).
Nun stelle ich Element für Element die Teilmenge zusammen, indem ich nacheinander die k Plätze der Teilmenge belege:
Zu Beginn: [mm] (\underbrace{?,?,\ldots,?}_{k\;\mbox{Stück}}) [/mm], alle Plätze unbelegt.
Nun wähle ich aus der Menge N das erste Element aus; da die Menge N zu diesem Zeitpunkt aus n Elementen besteht, habe ich n verschiedene Möglichkeiten, den ersten Platz zu belegen.
1. Platz: [mm] (X,\underbrace{?,\ldots,?}_{k-1\;\mbox{Stück}}) [/mm], erster Platz belegt (gekennzeichnet einfach mit [mm] X [/mm])
Für die Belegung des zweiten Platzes kann ich nur noch aus n-1 Elementen wählen.
2. Platz: [mm] (X,X,\underbrace{?,\ldots,?}_{k-2\;\mbox{Stück}}) [/mm]
Für die Belegung des dritten Platzes kann ich nur noch aus n-2 Elementen wählen.
3. Platz: [mm] (X,X,X,\underbrace{?,\ldots,?}_{k-3\;\mbox{Stück}}) [/mm]
[mm]\vdots[/mm]
Für die Belegung des vorletzten Platzes kann ich noch aus n-k+2 Elementen wählen.
(k-1). Platz: [mm] (\underbrace{X,\ldots,X}_{k-1\;\mbox{Stück}},?) [/mm]
Für die Belegung des letzten Platzes kann ich noch aus n-k+1 Elementen wählen.
k. Platz: [mm] (\underbrace{X,\ldots,X}_{k\;\mbox{Stück}}) [/mm], alle Plätze belegt.
Insgesamt gibt es also [mm] n*(n-1)*(n-2)*\ldots*(n-k+2)*(n-k+1) [/mm] Möglichkeiten, diese k Plätze zu belegen (zur Verdeutlichung noch mal das Beispiel mit der Fußballmannschaft: Wir haben da ja n=30 und k=11, also [mm] 30*29*28*27*26*25*24*23*22*21*\underbrace{20}_{=30-11+1=n-k+1} [/mm] Möglichkeiten).
Dieses Produkt [mm] n*(n-1)*(n-2)*\ldots*(n-k+2)*(n-k+1) [/mm] kann man auch mit Hilfe von Fakultäten ausdrücken:
[mm] n*(n-1)*(n-2)*\ldots*(n-k+2)*(n-k+1) [/mm]
[mm] = n*(n-1)*(n-2)*\ldots*(n-k+2)*(n-k+1) *\underbrace{\frac{(n-k)!}{(n-k)!}}_{=1} [/mm]
[mm] = \frac{n*(n-1)*(n-2)*\ldots*(n-k+2)*(n-k+1) * \overbrace{(n-k)*(n-k-1)*\ldots*2*1}^{=(n-k)!}}{(n-k)!} [/mm]
im Zähler steht nun gerade [mm] n! [/mm]:
[mm] = \frac{n!}{(n-k)!} [/mm]
So, jetzt müssen wir nur noch eine Korrektur vornehmen, denn: Auf diese Art und Weise der Teilmengenbildung erhalten wir mehrfach dieselbe Teilmenge, ich behaupte (und zeige gleich), dass wir so jede Teilmenge [mm] k! [/mm]-mal erhalten.
Zum Beispiel wird [mm] (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11) [/mm] und [mm] (2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,11) [/mm] getrennt gezählt, es werden also solche Auswahlen mehrfach gezählt, die sich nur durch die Reihenfolge der Elemente unterscheiden (in der obigen Darstellung habe ich auch bewußt keine Mengenklammern gewählt, sondern runde Klammern. Mathematisch heißt [mm] (1,2,3,\ldots,k)[/mm] ein Tupel; dies ist eine Liste von Elementen, bei der es auf die Reihenfolge ankomm, im Unterschied zu Mengen übrigens, denn: [mm] (1,2,3) \neq (2,1,3) [/mm], aber [mm] \{1,2,3\} = \{2,1,3\} [/mm], aber das nur nebenbei  ).
In wie viele verschiedene Reihenfolgen kann man denn [mm] k [/mm] Elemente bringen?
Führe hier wieder ein Gedankenexperiment durch (dasselbe wie oben übrigens) und wähle aus einer k-elementigen Menge (diesmal) k Elemente aus; du hast
[mm] k*(k-1)*(k-2)*\ldots*2*1 = k![/mm]
Möglichkeiten dazu.
Jede Teilmenge wurde also bei unserem Versuch oben [mm] k! [/mm]-fach gezählt, wir müssen also unser Zwischenergebnis [mm] \frac{n!}{(n-k)!} [/mm] noch durch [mm] k! [/mm] teilen:
[mm] \frac{n!}{k!*(n-k)!} = {n\choose k} [/mm]
Ich hoffe, das war einigermaßen verständlich, frage andernfalls einfach nach.
Alles Gute,
Marc.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:32 So 28.06.2009 | | Autor: | fische11 |
Danke für deine super Erkährung.
Ich weiß der Thread ist schon ziemlich alt aber ich finde meine Frage passt noch hierher.
Also wie komme ich jetzt auf die Formel:
n!/(n-k)!
Woher weiß ich das oben n! und unten (n-k)! stehen muss?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Mo 29.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Kannst du die Frage etwas konkreter Stellen? Was genau am Marcs Beweis verstehst du denn nicht?
Marius
|
|
|
|
