n Kugeln in einer Urne < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:25 Di 06.01.2009 | | Autor: | jaleo |
| Aufgabe | In einer Urne befinden sich n Kugeln, die von 1 bis n durchnummeriert sind.
Nun wird dreimal hintereinander rein zufällig eine Kugel entnommen, wobei jede entnommenene Kugel vor der nächsten Entnahme wieder in die Urne zurück gelegt wird.
s sei die Summe der Nummern der 3 entnommenen Kugeln.
n sei unbekannt, aber größer als 123. P(s=126) sei die Wahrscheinlichkeit, das die Summe s den Wert 126 hat.
bekannt sei: würde man die kugelanzahl n um 35 erhöhen, so würde sich die genannte Wahrsceinlichkeit P(s= 126) auf das 0,56151 - fache verringern.
Man bestimme n und P(s=126) |
Hallo, komme bei dieser Aufgabe leider überhaupt nicht weiter habe nur den anfang..
Ziehen mit zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
aber diese n verwirrt mich total. Bitte helft mir!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> In einer Urne befinden sich n Kugeln, die von 1 bis n
> durchnummeriert sind.
> Nun wird dreimal hintereinander rein zufällig eine Kugel
> entnommen, wobei jede entnommenene Kugel vor der nächsten
> Entnahme wieder in die Urne zurück gelegt wird.
>
> s sei die Summe der Nummern der 3 entnommenen Kugeln.
>
> n sei unbekannt, aber größer als 123. P(s=126) sei die
> Wahrscheinlichkeit, das die Summe s den Wert 126 hat.
>
> bekannt sei: würde man die kugelanzahl n um 35 erhöhen, so
> würde sich die genannte Wahrsceinlichkeit P(s= 126) auf das
> 0,56151 - fache verringern.
>
> Man bestimme n und P(s=126)
> Hallo, komme bei dieser Aufgabe leider überhaupt nicht
> weiter habe nur den anfang..
>
> Ziehen mit zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
>
> aber diese n verwirrt mich total. Bitte helft mir!
Edit: zuerst hatte ich etwas unglückliche
Bezeichnungen benützt Al-Chw.
Hallo suse,
etwas ist einfach: wenn n Kugeln in der Urne sind,
so ist die gesamte Anzahl der Zugmöglichkeiten bei
den 3 Zügen
[mm] m_n=n^3
[/mm]
Nun sei [mm] g_n [/mm] die Anzahl der Möglichkeiten, drei
Kugeln mit der Nummernsumme s=126 zu ziehen.
Es ist dann
[mm] P_n(s=126)=\bruch{g_n}{m_n}=\bruch{g_n}{n^3}
[/mm]
Überlege dir, wie (und ob) die Anzahl [mm] g_n [/mm] sich verändert,
wenn man z.B. die Fälle n=150 und n=185 vergleicht.
Dann sollte irgendwo ein nettes Lichtlein aufleuchten ...
LG al-Chw.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Di 06.01.2009 | | Autor: | jaleo |
Umso größer das n wird, um so mehr möglichkeiten gibt es.
Aber so richtig verstanden habe ich es noch nicht, sorry!
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> Umso größer das n wird, um so mehr Möglichkeiten gibt es.
Aber nur für das [mm] m_n, [/mm] nicht für [mm] g_n [/mm] (falls nur [mm] n\ge [/mm] 123) !
[mm] g_n=g [/mm] bleibt gleich, ob nun $\ n=123$ oder $\ n=150$ oder irgendein
grösseres $\ n$ ist !
Man kann natürlich [mm] g_n [/mm] auch tatsächlich ausrechnen:
[mm] g_n= [/mm] Anzahl der Tripel $(a,b,c)$ mit [mm] a,b,c\in \{1,2,3, ... , n\} [/mm] und $\ a+b+c=126$
$\ g =$ Anzahl der Tripel $(a,b,c)$ mit [mm] a,b,c\in \IN [/mm] und $\ a+b+c=126$
Für $\ [mm] n\ge [/mm] 123$ ist [mm] g_n=g [/mm] , denn in jedem Tripel von
natürlichen Zahlen mit der Summe $\ 126$ liegen alle
Summanden im Bereich [mm] \{1,2,3, ... , 123\}.
[/mm]
Interessanterweise kann man aber die vorliegende
Aufgabe auch lösen, ohne dass man $\ g$ tatsächlich
ausrechnet !
Für die gesuchte Anzahl $\ n$ der Kugeln in der
Urne kann man also schreiben:
$\ [mm] P_n=\bruch{g}{n^3}$ [/mm] und $\ [mm] P_{n+35}=\bruch{g}{(n+35)^3}$
[/mm]
Wende darauf einfach die zusätzlich gegebene
Bedingung an und berechne $\ n$ aus der entstehenden
Gleichung.
Als Zugabe kannst du, wenn du magst, den
konkreten Wert von $\ g$ natürlich auch noch
ausrechnen ... 
LG al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Fr 09.01.2009 | | Autor: | jaleo |
Vielen Dank für deine Antworten, die Aufgabe habe ich jetzt verstanden. Mir ist nur noch unklar wie solche Fälle berücksichtigt werden, bei denen eine Kugel zweimal bzw. dreimal gezogen wird.
Bsp. 124 +1 +1 oder 42 + 42 +42
Die Kugel wird ja nach jeder Ziehung wieder zurückgelegt. Die Anzahl der Möglichkeiten, müsste sich doch dadurch erhöhen?
Kannst du mir bitte darauf noch eine antwort geben?
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> Vielen Dank für deine Antworten, die Aufgabe habe ich jetzt
> verstanden. Mir ist nur noch unklar wie solche Fälle
> berücksichtigt werden, bei denen eine Kugel zweimal bzw.
> dreimal gezogen wird.
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> Bsp. 124 +1 +1 oder 42 + 42 +42
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> Die Kugel wird ja nach jeder Ziehung wieder zurückgelegt.
> Die Anzahl der Möglichkeiten, müsste sich doch dadurch
> erhöhen?
>
> Kannst du mir bitte darauf noch eine antwort geben?
Hallo Susanne,
für die vorliegende Aufgabe ist eigentlich nur wichtig,
dass dies einerlei ist und auf die gleiche Anzahl führt,
falls nur die Anzahl der Kugeln mindestens 123 ist.
Aber kümmern wir uns jetzt doch noch um die wirkliche
Anzahl [mm] a_s [/mm] der Tripel (x,y,z) mit einer bestimmten
Summe s=x+y+z .
Für s<3 gibt es keine solchen Tripel, denn die kleinste
mögliche Summe ist ja 1+1+1=3.
Für s=3 ist [mm] a_s=a_3=1 [/mm] (1+1+1)
Für s=4 ist [mm] a_s=a_4=3 [/mm] (2+1+1, 1+2+1, 1+1+2)
Für s=5 ist [mm] a_s=a_5=6 [/mm] (3+1+1, 2+2+1, 2+1+1, 1+3+1, 1+2+2, 1+1+3)
Man kann sich klar machen, dass
$\ [mm] a_s=1+2+3+4+ [/mm] ..... + (s-2)$
Vielleicht versuchst du, dies zu beweisen und für den
Wert der Summe einen Ausdruck zu finden, bei dem
man nicht mehr viele Summanden addieren muss ...
LG Chwarizmi
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