n-te Einheitswurzel < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Wunderschönen Guten Morgen!
Bin mir nicht sicher, ob ich das mit den n-ten Einheitswurzeln schon begriffen habe.
Die Aufgabe war:
Sei [mm] c=\bruch{1}{9}*(7+4i\wurzel{2})\in \IC.
[/mm]
Ist nun c eine n-te Einheitswurzel [mm] (n\in\IN [/mm] passend)?
So, da n-te Einheitswurzeln ja Nullstellen von [mm] x^{n}-1 [/mm] sind, müsste man doch nun [mm] c^{n}-1=0 [/mm] setzen, oder?
Und da in c ein i enthalten ist, könnte man durch Potenzieren doch nicht auf 1 kommen, so dass c Nullstelle wird, oder?
Würde mich über Hilfe sehr freuen!
Lieben Gruß Jessi
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Hi, Jessi,
ist schon eine Weile her, dass ich mit komplexen Zahlen zu tun hatte.
Trotzdem hier mein "Hilfsangebot":
Ist es nicht einfach so, dass Du zeigen musst, dass der Betrag von c gleich 1 ist?!
Hier meine Rechnung dazu:
|c| = [mm] \bruch{1}{9}*\wurzel{Re(c)^{2}+Im(c)^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{9}*\wurzel{7^{2}+(4*\wurzel{2})^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{9}*\wurzel{49+32} [/mm] = 1 (q.e.d.)
Oder musst Du auch noch das n berechnen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 Di 29.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi Zwerglein und Jessi
was Zwerglein angegeben hat, nämlich, dass die komplexe zahl auf dem einheitskreis liegt, also betrag 1 hat, ist eine notwendige bedingung für eine einheitswurzel, jedoch leider keine hinreichende! denn auf dem einheitskreis gibt es überabzählbar viele zahlen, es gibt jedoch nur abzählbar viele einheitswurzeln.
mir fällt im moment leider auch nichts besseres ein, als ein $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] zu suchen, so dass
[m]c^n - 1 = 0 [/m]
oder eben zu zeigen, dass es solch ein $n$ nicht gibt! das argument, das ein $i$ in $c$ vorkommt ist leider nicht stichhaltig, da z.b.
[m] i^4 - 1 = 0 [/m],
$i$ also $4$te-einheitswurzel ist!
grüße
andreas
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Hallo, Jessi
um den Rest der Frage zu beantworten mußt Du den Winkel
von c bestimmen der [mm] $\arctan\frac{4\sqrt{2}}{7}$ [/mm] ist und
entscheiden mit $n [mm] \in \IN$ [/mm] ein n-tel von 360° bzw [mm] $2\pi$
[/mm]
ist ( der Winkel der n-ten Potenz einer komplexen Zahl
ist das nFache des Winkels der Zahl)
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> Hallo, Jessi
>
> um den Rest der Frage zu beantworten mußt Du den Winkel
> von c bestimmen der [mm]\arctan\frac{4\sqrt{2}}{7}[/mm] ist und
> entscheiden mit [mm]n \in \IN[/mm] ein n-tel von 360° bzw [mm]2\pi[/mm]
> ist ( der Winkel der n-ten Potenz einer komplexen Zahl
> ist das nFache des Winkels der Zahl)
Hallo Friedrich!
Erstmal "Danke" für deine Hilfe!
Aber irgendwie verwirrt mich deine Antwort, denn wir haben in der Vorlesung weder Winkel noch arctan behandelt. Und da diese Aufgabe in unserer Klausur vorkam, würde es mich sehr wundern, wenn wir deinen Lösungsweg hätten verfolgen sollen!
Hast du vielleicht noch eine Idee für einen anderen Lösungsansatz?
Gruß Jessi
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Hallo Jessi,
es darf also wirklich weder die trigonometrische noch
die Exponentialdarstellung Komplexer Zahlen verwendet
werden?
Es muß also gezeigt werden daß es (k)ein n
gibt für das [mm] c^n [/mm] reell ist?
Dann müßte wohl gezeigt werden daß der Betrag des Imaginärteils von $(7 + [mm] \iota4\sqrt{2})^n$ [/mm] mit steigendem monoton wächst
( scheinbar der Fall ist ) also nie 0 werden kann
was mir aber sehr aufwendig scheint.
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> Hallo Jessi,
>
> es darf also wirklich weder die trigonometrische noch
> die Exponentialdarstellung Komplexer Zahlen verwendet
> werden?
Ich bin mir nicht sicher, vielleicht sollten wir es ja so lösen, wie du gesagt hast?!
> Es muß also gezeigt werden daß es (k)ein n
> gibt für das [mm]c^n[/mm] reell ist?
Ja, ich denke schon!
> Dann müßte wohl gezeigt werden daß der Betrag des
> Imaginärteils von [mm](7 + \iota4\sqrt{2})^n[/mm] mit steigendem
> monoton wächst
> ( scheinbar der Fall ist ) also nie 0 werden kann
> was mir aber sehr aufwendig scheint.
Ich habe dazu auch schon sehr viel rumgerechnet, aber habe nichts sinnvolles herausbekommen!
Aber ich glaube, dann nehme ich doch deinen 1. Lösungsvorschlag.
Kannst du mir noch mal sagen, wie du auf den Winkel von c gekommen bist?
LG Jessi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Max |
Hallo ihr alle,
ich habe mir mal überlegt, wenn [mm] $c^n=1$ [/mm] gelten würde, dann müsste [mm] $c^n$ [/mm] eine ganze Zahl sein. Vielleicht kann man damit einen Widerspruchsbeweis führen.
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Hallo Jessi
entschuldige bitte wenn ich - gelinde gesagt - sehr verwundert bin .
Entweder hast Du in den Vorlesungen etwas versäumt oder der Prof. hat eine
seltsame Umgansweise mit dem Stoff.
Wenn Du kein Skript dazu hast sieh dir mal ![[]](/images/popup.gif) die Wikiseite dazu an
und
recht Empfehlenswert scheint mir diesen Lernpfad zu gehen
das "Kochrezept" hab ich Dir ja schon gegeben:
der Tangens des Winkels einer Komplexen Zahl ist (Imaginärteil / Realteil)
und
bei der Multiplikation Komplexer Zahlen addieren sich ihre Winkel.
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