n-maliges Würfeln < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein fairer Würfel werde n mal unabhängig geworfen.
a.) Geben Sie den W-Raum (Omega,P), derart an, dass der Produktraum [mm] (\times_{i = 1}^{n} [/mm] Omega, [mm] \otimes_{i = 1}^{n} [/mm] P) das beschriebene Experiment modelliert.
b.) Sei [mm] A_{n} [/mm] das Ereignis, dass die Augenzahl zum ersten Male im n-ten Wurf erzielt wird. Bestimmen Sie [mm] A_{n} [/mm] als Teilmenge von Omega und bestimmen Sie anschließend [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \otimes_{i = 1}^{n} [/mm] P.
c.) Bestimmen Sie den Reihenwert [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{n}. [/mm] |
Hallo an alle,
meine Lösungen:
(a) Omega = [mm] (\times_{i = 1}^{n} [/mm] Omega = [mm] (1,2,3,4,5,6)^{n} [/mm] und P = [mm] \otimes_{i = 1}^{n} [/mm] P = [mm] \bruch{|A_{n}|}{|Omega|^{n}} [/mm] mit [mm] A_{n} \subset (1,2,3,4,5,6)^{n}.
[/mm]
(b) [mm] A_{n} [/mm] = (1,2,3,4,5) x ... x (1,2,3,4,5) x (6) bzw. [mm] A_{n} [/mm] = [mm] (w_{1},...,w_{n-1},w_{n}) [/mm] mit [mm] w_{n} [/mm] = 6 und [mm] w_{1},...,w_{n-1} \in [/mm] (1,2,3,4,5).
Bei der Bestimmung [mm] P(A_{n}) [/mm] habe ich einfach die Definition des Produktmaßes angewandt, [mm] P(A_{n})=P((1,2,3,4,5) [/mm] x ... x (1,2,3,4,5) x (6)) = P((1,2,3,4,5))*...*P((1,2,3,4,5))*P((6))
= [mm] \bruch{5^{n-1}}{6^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5}* (\bruch{5}{6})^{n}
[/mm]
c.) Der Reihenwert bestimmt sich über die geometrische Reihe und damit gilt: [mm] \summe_{i=1}^{n} (\bruch{1}{5})*(\bruch{5}{6})^{n} [/mm] = [mm] \bruch{6}{5}.
[/mm]
Nun zu meinem Problem: Die Aufgabe ging mir recht locker von der Hand, so dass ich schon mal stutzig geworden bin (sprich: könnt ihr das mal kontrollieren?). Komisch finde ich auch das Ergebnis von c.). Das kann doch nicht richtig sein, bzw. was bedeutet das denn? Der Wert ist ja größer 1?
Grüße, Steffen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Mi 16.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo:
> Ein fairer Würfel werde n mal unabhängig geworfen.
> a.) Geben Sie den W-Raum (Omega,P), derart an, dass der
> Produktraum [mm](\times_{i = 1}^{n}[/mm] Omega, [mm]\otimes_{i = 1}^{n}[/mm]
> P) das beschriebene Experiment modelliert.
> b.) Sei [mm]A_{n}[/mm] das Ereignis, dass die Augenzahl zum ersten
> Male im n-ten Wurf erzielt wird. Bestimmen Sie [mm]A_{n}[/mm] als
> Teilmenge von Omega und bestimmen Sie anschließend [mm]a_{n}[/mm] =
> [mm]\otimes_{i = 1}^{n}[/mm] P.
> c.) Bestimmen Sie den Reihenwert [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{n}.[/mm]
>
> Hallo an alle,
>
> meine Lösungen:
>
> (a) Omega = [mm](\times_{i = 1}^{n}[/mm] Omega = [mm](1,2,3,4,5,6)^{n}[/mm]
> und P = [mm]\otimes_{i = 1}^{n}[/mm] P =
> [mm]\bruch{|A_{n}|}{|Omega|^{n}}[/mm] mit [mm]A_{n} \subset (1,2,3,4,5,6)^{n}.[/mm]
>
> (b) [mm]A_{n}[/mm] = (1,2,3,4,5) x ... x (1,2,3,4,5) x (6) bzw.
> [mm]A_{n}[/mm] = [mm](w_{1},...,w_{n-1},w_{n})[/mm] mit [mm]w_{n}[/mm] = 6 und
> [mm]w_{1},...,w_{n-1} \in[/mm] (1,2,3,4,5).
>
> Bei der Bestimmung [mm]P(A_{n})[/mm] habe ich einfach die Definition
> des Produktmaßes angewandt, [mm]P(A_{n})=P((1,2,3,4,5)[/mm] x ... x
> (1,2,3,4,5) x (6)) =
> P((1,2,3,4,5))*...*P((1,2,3,4,5))*P((6))
> = [mm]\bruch{5^{n-1}}{6^{n}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{5}* (\bruch{5}{6})^{n}[/mm]
A und B sehen soweit gut aus.
>
> c.) Der Reihenwert bestimmt sich über die geometrische
> Reihe und damit gilt: [mm]\summe_{i=1}^{n} (\bruch{1}{5})*(\bruch{5}{6})^{n}[/mm]
> = [mm]\bruch{6}{5}.[/mm]
>
> Nun zu meinem Problem: Die Aufgabe ging mir recht locker
> von der Hand, so dass ich schon mal stutzig geworden bin
> (sprich: könnt ihr das mal kontrollieren?). Komisch finde
> ich auch das Ergebnis von c.). Das kann doch nicht richtig
> sein, bzw. was bedeutet das denn? Der Wert ist ja größer
> 1?
Bei der Reihe hast du dich glaube ich vertan. Der Grenzwert ist nicht [mm] \bruch{6}{5}
[/mm]
>
> Grüße, Steffen
Marius
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Hallo Marius,
vielen Dank erstmal für die Korrektur.
Zur Reihe: Erstmal muss es natürlich [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{5})(\bruch{5}{6})^{n} [/mm] heißen. Wenn man das umformt ergibt sich: [mm] \bruch{1}{5} [/mm] * [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{5}{6})^{n}. [/mm] Der Reihenwert der geometrischen Reihe ist doch [mm] \summe_{n=1}^{\infty} q^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] für |q| < 1, also [mm] \bruch{1}{1 - \bruch{5}{6}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{6}{6} - \bruch{5}{6}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{6}} [/mm] = 6, also [mm] \bruch{6}{5}, [/mm] oder bin ich grad zu blöd?
Grüße, steffen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 Mi 16.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Marius,
>
> vielen Dank erstmal für die Korrektur.
>
> Zur Reihe: Erstmal muss es natürlich [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{5})(\bruch{5}{6})^{n}[/mm]
> heißen. Wenn man das umformt ergibt sich: [mm]\bruch{1}{5}[/mm] *
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{5}{6})^{n}.[/mm] Der Reihenwert der
> geometrischen Reihe ist doch [mm]\summe_{n=1}^{\infty} q^{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] für |q| < 1, also [mm]\bruch{1}{1 - \bruch{5}{6}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\bruch{6}{6} - \bruch{5}{6}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{6}}[/mm] = 6, also [mm]\bruch{6}{5},[/mm] oder bin
> ich grad zu blöd?
Hallo nochmal
Du hast natürlich recht. Die Reihe Konvergiert natürlich gegen den angegebenen Grenzwert. (Ich habe den Nenner falsch in Erinnerung gehabt)
Was das für deine Aufgabe bedeutet weiss ich allerdings nicht.
EDIT: Der Grenzwertsatz für die geometrische Reihe gilt nur für Reihe der Form:
[mm] \summe_{k=\red{0}}^{+\infty}{q^{k}} [/mm]
Also musst du noch eine Indexverschiebung machen.
Marius
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