n-Wurzelprodukt <= n*Summe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 So 08.11.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
| Aufgabe | | Zeige [mm] $\wurzel[n]{\produkt_{i=1}^{n}a_i} \le \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} a_i$ [/mm] |
Ich habe lang überlegt ob es mit Cauchy-Schwarzscher-Ungleichung geht, bin aber zu keinem Ergebnis gekommen.
Es sollte ja auch
$n * [mm] \wurzel[n]{\produkt_{i=1}^{n}a_i} \le \summe_{i=1}^{n} a_i$ [/mm] nur das hilft mir auch nicht. Was wäre hier der richtige Ansatz?
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> Zeige [mm]\wurzel[n]{\produkt_{i=1}^{n}a_i} \le \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} a_i[/mm]
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> Ich habe lang überlegt ob es mit
> Cauchy-Schwarzscher-Ungleichung geht, bin aber zu keinem
> Ergebnis gekommen.
> Es sollte ja auch
> [mm]n * \wurzel[n]{\produkt_{i=1}^{n}a_i} \le \summe_{i=1}^{n} a_i[/mm]
> nur das hilft mir auch nicht. Was wäre hier der richtige
> Ansatz?
Hi,
am besten schreibst du um zu
[mm] $$a_1*\ldots*a_n\le\left(\frac{1}{n}*\left(a_1+\ldots+a_n\right)\right)^n$$
[/mm]
Der Ansatz ist nun Induktion nach n mithilfe der bernouillischen Ungleichung.
Viel Erfolg, Stefan.
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OK. Der I.A. n=1 ist natürlich trivial.
I.S. n->n+1, Es gelte die Annahme für ein n:
[mm] $a_1 [/mm] * [mm] \ldots *a_{n+1} \overbrace{\le}^{IV} (a_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_n)^n [/mm] * [mm] \bruch{a_{n+1}}{n^n}$
[/mm]
Mit dem Bernoulli hab ich ganz zu Anfang schon endlos rumgespielt.
Für [mm] $(1+x)^n \ge [/mm] 1+nx$ habe ich gesagt, dass $x := [mm] (a_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_n)/n [/mm] - 1$ also
[mm] $((a_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_n)/n)^n \ge [/mm] 1 + [mm] (a_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_n) [/mm] -n$
Das ist noch fernab von dem was ich will ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 10.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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