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Hallo nochmal,
ich hatte vor einiger Zeit eine Frage zur Korrelation bei multivariaten Standardnormalverteilungen gestellt und zwar wie der Korrelationskoeffizient bei [mm] $N_2(a_2,b_2;\rho)$ [/mm] oder
[mm] $N_2(-a_2,b_2;-\rho)$ [/mm] zustande kommt. Ich habe mir die Rechnung jetzt genauer angesehen (und bin dabei auf so viele fragwürdige Sachen gestoßen, dass ich erst jetzt antworte) und habe daher eine Frage für den zweidimensionalen Fall.
Die gemeinsame Dichte- und Verteilungsfunktion der zweidimensionalen Normalverteilung sind folgendermaßen gegeben.
$$
[mm] \varphi_2(x,y,\rho)=\bruch{1}{2\pi \wurzel{1-\rho^2}} \exp(-\bruch{x^2-2\rho
xy+y^2}{2(1-\rho^2)})$$
[/mm]
[mm] $$N_2(x,y;\rho)&=\int_{-\infty}^y\int_{-\infty}^x\varphi_2(u,v,\rho)dudv=\bruch{1}{2\pi \wurzel{1-\rho^2}} \int_{-\infty}^{x}\limits\int_{-\infty}^{y}\limits e^{- \bruch{u^2-2\rho uv + v^2}{2 \wurzel{1-\rho^2}}}dudv$$
[/mm]
Wie kann ich nun beispielsweise
[mm] $\int_{-\infty}^{-y}\int_{-x}^{\infty}\varphi_2(u,v,\rho)du [/mm] dv$
in Form von [mm] $N_2$ [/mm] darstellen? Ich glaube, diese Idee hier kann helfen:
[mm] $\varphi_2(x,y,\rho)=\varphi_2(-x,y,-\rho).$ [/mm]
So wäre auch das negative [mm] $\rho$ [/mm] erklärt, wonach ich die ganze Zeit suche. Die Integralgrenzen müssen irgendwie vertauscht werden, so dass [mm] $-\infty$ [/mm] unten steht. Aber wie??
Die Dichtefunktion ist nicht symmetrisch, deshalb weiß ich nicht, wie man die Integralgrenzen einfach vertauschen kann, bzw. wo ein - hinkommt.
Im eindimensionalen Fall gilt ja:
[mm] $$\int_{-\infty}^x\varphi(u)du [/mm] =N(x),$$ wobei [mm] $\varphi$ [/mm] die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ist und N(x) die Verteilungsfunktion.
Hier gilt nun aus Symmetriegründen [mm] $\int_{-x}^{\infty}\varphi(u)du =\int_{-\infty}^x\varphi(u)du=N(x)$.
[/mm]
Wie kann ich Ähnliches im zweidimensionalen oder dreidimensionalen Fall schaffen?? Wichtig ist, dass das rho negativ wird.
Danke schonmal!
Fragen beantworte ich diesmal schneller, versprochen!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Di 06.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Stefan!
Es gilt ja:
[mm] $\int\limits_{-\infty}^{-y} \int\limits_{-x}^{\infty} \varphi_2(u,v,\rho)\, [/mm] du dv$
[Transformation: [mm] $\blue{x \mapsto -x}$]
[/mm]
$= [mm] \int\limits_{- \infty}^{-y} \int\limits_{- \infty}^x \varphi_2(-u,v,\rho)\, [/mm] du dv$
[mm] $=\int\limits_{-\infty}^{-y} \int\limits_{- \infty}^x \varphi_2(u,v,-\rho)\, [/mm] dudv$
$= [mm] N_2(x,-y,-\rho)$.
[/mm]
Meintest du das?
Liebe Grüße
Julius
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Ja!
GENAU DAS meinte ich!!! 
Da hätte ich eigentlich auch selbst mal drauf kommen können, aber naja!! Endlich weiß ich, woher [mm] $-\rho$ [/mm] kommt!!
Danke, danke, danke!
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Hi,
meine Mitbewohnerin hat vergessen, sich auszuloggen, und da habe ich aus Versehen mit ihrem Namen geantwortet!  Schon blöd, wenn beide im matheraum sind....
Jetzt nochmal danke für die Antwort!
Stefan.
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Hallo!
Ich habe mir das jetzt alles nochmal angeguckt und versucht, das auf den 3-dim. Fall zu übertragen, da hab ich mich mal wieder etwas gefragt. Wir hatten ja:
[mm] $$N_2(x,-y,-\rho)=\int_{-\infty}^{-y}\limits\int_{-\infty}^{x}\limits \varphi_2(u,v,-\rho)dudv.$$
[/mm]
Jetzt frag ich mich, ob es nicht
[mm] $$N_2(x,-y,-\rho)=\int_{-\infty}^{-y}\limits\int_{-\infty}^{x}\limits \varphi_2(u,-v,-\rho)dudv$$
[/mm]
heißen muss?!
[mm] \begin{equation}
\varphi_2(x,y;\rho)=\frac{1}{2\pi\wurzel{1-\rho^2}}\exp\left(-\frac{x^2-2\rho xy+y^2}{2(1-\rho^2)}\right)
\end{equation}
[/mm]
Wie wäre das denn für den 3-dim Fall?
Ist es
[mm] $$N_3(x,y,-z;\rho_{xy},-\rho_{xz},-\rho_{yz})=\int_{-\infty}^{-z}\limits\int_{-\infty}^{y}\limits\int_{-\infty}^{x}\limits\varphi_3(u,v,w;\rho_{uv},-\rho_{uw},-\rho_{vw})dudvdw??$$
[/mm]
ODER
[mm] $$N_3(x,y,-z;\rho_{xy},-\rho_{xz},-\rho_{yz})=\int_{-\infty}^{-z}\limits\int_{-\infty}^{y}\limits\int_{-\infty}^{x}\limits\varphi_3(u,v,-w;\rho_{uv},-\rho_{uw},-\rho_{vw})dudvdw??$$
[/mm]
Danke,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:06 Mi 28.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Stefan!
> [mm]N_2(x,-y,-\rho)=\int_{-\infty}^{-y}\limits\int_{-\infty}^{x}\limits \varphi_2(u,v,-\rho)dudv.[/mm]
>
> Jetzt frag ich mich, ob es nicht
> [mm]N_2(x,-y,-\rho)=\int_{-\infty}^{-y}\limits\int_{-\infty}^{x}\limits \varphi_2(u,-v,-\rho)dudv[/mm]
>
> heißen muss?!
Nein, warum sollte es? Ich kann an meiner Herleitung keinen Fehler entdecken...
> [mm]\begin{equation}
\varphi_2(x,y;\rho)=\frac{1}{2\pi\wurzel{1-\rho^2}}\exp\left(-\frac{x^2-2\rho xy+y^2}{2(1-\rho^2)}\right)
\end{equation}[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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Hallo (Julius)!
Erstmal danke für deine Hilfe!! Was würde ich nur ohne dich tun?
Das mit dem Doppelposting tut mir leid, ich dachte, die Frage liest niemand, weil sie nicht auf der ersten Seite zu sehen ist.
Die Frage mit dem 3-dim. Fall kann gelöscht werden, ich versteh den 2-dim. Fall noch nichteinmal komplett. :-(
Mein Problem ist immer noch der Korrelationskoeffizient [mm] $\rho$.
[/mm]
Ich verstehe, dass
[mm] $$\varphi_2(-u,v;\rho)=\varphi_2(u,v;-\rho)$$
[/mm]
[mm] $$\varphi_2(u,-v;\rho)=\varphi_2(u,v;-\rho),$$
[/mm]
[mm] $$\varphi_2(-u,-v;\rho)=\varphi_2(u,v;\rho),$$
[/mm]
[mm] $$\varphi_2(-u,v;-\rho)=\varphi_2(u,v;\rho),$$
[/mm]
[mm] $$\varphi_2(u,-v;-\rho)=\varphi_2(u,v;\rho).$$
[/mm]
aufgrund der Definition von [mm] $\varphi_2$ [/mm] gilt.
Aber wenn jetzt z.B. X und Y zwei standardnormalverteilte Zufallsvariablen sind, wie ist dann die Wskt, dass X<a und Y>b ist?
[mm] $$P(Xb)=\int_{-\infty}^a \int_b^{\infty}\varphi_2(x,y,\rho) [/mm] dx dy$$ oder
[mm] $$P(Xb)=\int_{-\infty}^a \int_b^{\infty}\varphi_2(x,y,-\rho) [/mm] dx [mm] dy\quad [/mm] ?$$
Im ersten Fall hat man:
[mm] $$P(Xb)=\int_{-\infty}^a \int_b^{\infty}\varphi_2(x,y,\rho) [/mm] dx dy$$
Mit Substitution [mm] $\tilde(x)=-x$ [/mm] erhält man dann
[mm] $$P(Xb)=-\int_{-\infty}^a \int_{-b}^{-\infty}\varphi_2(-x,y,\rho) [/mm] dx dy$$
Dreht man das Integral, löst sich das - auf und man hat:
[mm] $$P(Xb)=\int_{-\infty}^a \int_{-\infty}^{-b}\varphi_2(-x,y,\rho) [/mm] dx dy$$
Mit [mm] $$\varphi_2(-u,v;\rho)=\varphi_2(u,v;-\rho)$$
[/mm]
erhält man dann:
[mm] $$P(Xb)=\int_{-\infty}^a \int_{-\infty}^{-b}\varphi_2(x,y,-\rho) [/mm] dx dy$$
Ist das dann [mm] $$N_2(a,-b;-\rho)\quad [/mm] ??$$
Im zweiten Fall hat man:
[mm] $$P(Xb)=\int_{-\infty}^a \int_b^{\infty}\varphi_2(x,y,-\rho) [/mm] dx dy$$
Mit Substitution [mm] $\tilde(x)=-x$ [/mm] erhält man dann
[mm] $$P(Xb)=-\int_{-\infty}^a \int_{-b}^{-\infty}\varphi_2(-x,y,-\rho) [/mm] dx dy$$
Dreht man das Integral, löst sich das - auf und man hat:
[mm] $$P(Xb)=\int_{-\infty}^a \int_{-\infty}^{-b}\varphi_2(-x,y,-\rho) [/mm] dx dy$$
Mit [mm] $$\varphi_2(-u,v;-\rho)=\varphi_2(u,v;\rho)$$
[/mm]
erhält man dann:
[mm] $$P(Xb)=\int_{-\infty}^a \int_{-\infty}^{-b}\varphi_2(x,y,\rho) [/mm] dx dy$$
Ist das dann [mm] $$N_2(a,-b;\rho)\quad [/mm] ??$$
Es soll wohl gelten [mm] $$P(Xb)=N_2(-a,b;-\rho).$$
[/mm]
Ich weiß nicht, wann man in der Dichtefunktion [mm] $\rho$ [/mm] oder [mm] $-\rho$ [/mm] nimmt, und in der Verteilungsfunktion auch nicht.
Laut Definition von [mm] $N_2$ [/mm] müsste ja gelten
[mm] $$N_2(a,-b;\rho)=\int_{-\infty}^a \int_{-\infty}^{-b}\varphi_2(x,y,-\rho) [/mm] dx dy.$$
Oder nicht?
Was versteh ich hier nicht? Kann mir irgendwer auf die Sprünge helfen? Es müssen auch keine langen Antworten sein, es reicht ein Hinweis, wo was falsch ist.
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Mi 28.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Stefan!
> Das mit dem Doppelposting tut mir leid, ich dachte, die
> Frage liest niemand, weil sie nicht auf der ersten Seite zu
> sehen ist.
Okay, verstehe. Aber es lesen wirklich alle die noch offenen Fragen, auch wenn sie nicht auf der ersten Seite stehen. Ist erledigt...
> Mein Problem ist immer noch der Korrelationskoeffizient
> [mm]\rho[/mm].
> Ich verstehe, dass
>
>
> [mm]\varphi_2(-u,v;\rho)=\varphi_2(u,v;-\rho)[/mm]
> [mm]\varphi_2(u,-v;\rho)=\varphi_2(u,v;-\rho),[/mm]
> [mm]\varphi_2(-u,-v;\rho)=\varphi_2(u,v;\rho),[/mm]
> [mm]\varphi_2(-u,v;-\rho)=\varphi_2(u,v;\rho),[/mm]
> [mm]\varphi_2(u,-v;-\rho)=\varphi_2(u,v;\rho).[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aufgrund der Definition von [mm]\varphi_2[/mm] gilt.
>
> Aber wenn jetzt z.B. X und Y zwei standardnormalverteilte
> Zufallsvariablen sind, wie ist dann die Wskt, dass X<a und
> Y>b ist?
>
> [mm]P(Xb)=\int_{-\infty}^a \int_b^{\infty}\varphi_2(x,y,\rho) dx dy[/mm]
Genau so! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> oder
> [mm]P(Xb)=\int_{-\infty}^a \int_b^{\infty}\varphi_2(x,y,-\rho) dx dy\quad ?[/mm]
Nein, das macht keinen Sinn.
> Im ersten Fall hat man:
>
> [mm]P(Xb)=\int_{-\infty}^a \int_b^{\infty}\varphi_2(x,y,\rho) dx dy[/mm]
>
> Mit Substitution [mm]\tilde(x)=-x[/mm] erhält man dann
> [mm]P(Xb)=-\int_{-\infty}^a \int_{-b}^{-\infty}\varphi_2(-x,y,\rho) dx dy[/mm]
>
> Dreht man das Integral, löst sich das - auf und man hat:
> [mm]P(Xb)=\int_{-\infty}^a \int_{-\infty}^{-b}\varphi_2(-x,y,\rho) dx dy[/mm]
>
> Mit [mm]\varphi_2(-u,v;\rho)=\varphi_2(u,v;-\rho)[/mm]
>
> erhält man dann:
> [mm]P(Xb)=\int_{-\infty}^a \int_{-\infty}^{-b}\varphi_2(x,y,-\rho) dx dy[/mm]
Genau das!
> Ist das dann [mm]N_2(a,-b;-\rho)\quad ??[/mm]
Ja!
Wo genau ist da jetzt ein Widerspruch? Oder warum zweifelst du daran?
> [mm]N_2(a,-b;\rho)=\int_{-\infty}^a \int_{-\infty}^{-b}\varphi_2(x,y,-\rho) dx dy.[/mm]
>
> Oder nicht?
Nein. Es müsste gelten:
[mm]N_2(a,-b;\rho)=\int_{-\infty}^a \int_{-\infty}^{-b}\varphi_2(x,y,\rho) dx dy.[/mm]
Wie kommst du darauf, dass dort plötzlich ein [mm] $-\rho$ [/mm] auftaucht?
Oder gehe ich von einer anderen Definition von [mm] $N_2$ [/mm] aus?
Liebe Grüße
Julius
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Danke, danke, danke!!
Ich glaube, jetzt hab ich es alles verstanden, zumindest hoffe ich es!
Ich versuche, mal in den nächsten Tagen keine Frage zu stellen. Aber wie ich mich kenne, schaff ich das sowieso nicht.
Danke für alles,
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 Mi 28.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Stefan!
Du kannst so viele Fragen stellen wie du willst!
[mm] $\mbox{\scriptsize (Nur halt nicht doppelt... ;-))}$
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 Mi 28.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ich sehe gerade, es geht ja nur um das Einsetzen, da hatte ich nicht genau gelesen. Na, dann braucht man [mm] $\varphi_3$ [/mm] ja gar nicht.
> [mm]N_3(x,y,-z;\rho_{xy},-\rho_{xz},-\rho_{yz})=\int_{-\infty}^{-z}\limits\int_{-\infty}^{y}\limits\int_{-\infty}^{x}\limits\varphi_3(u,v,w;\rho_{uv},-\rho_{uw},-\rho_{vw})dudvdw??[/mm]
Das ist richtig!
Viele Grüße
Julius
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