multipl. inverse im komplexen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi!
Wieso wird das multiplikative Inverse einer komplexen zahl auf das reelle zurückgeführt bzw. wieso kann man eine division durch eine komplexe zahl nicht definieren?
Thx & greetz
sonnenblumale
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Alpha23 |
> Hi!
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> Wieso wird das multiplikative Inverse einer komplexen zahl
> auf das reelle zurückgeführt bzw. wieso kann man eine
> division durch eine komplexe zahl nicht definieren?
>
> Thx & greetz
> sonnenblumale
Hallo!
Naja, mann muss das nicht auf das Reelle zurückführen. Das ist im Grunde nur dafür da, dass man merkt, wo's herkommt. Die imaginären Zahlen sind nunmal die logische Erweiterung der Reellen Zahlen und da liegt es nahe, die Division im Komplexen mit der Division in der rellen Fläche zu erklären.
Eine Division ist per Definition die Multiplikation mit dem Inversen. Also ist auch die Division durch eine komplexe Zahl nichts Anderes als die Multiplikation mit dem Inversen, für das bekanntlich gilt:
[mm]z^{-1}=\bruch{\overline{z}}{|z|^{2}}[/mm]
Gruß
Timo
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Hi!
Wieso kann ich nicht gleich sagen, dass für
$ z = a + bi$ gilt
$ [mm] z^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a+bi} [/mm] $ ?
Hab inzwischen noch eine weitere Frage:
Wie kann ich mir das vorstellen, wenn ich die Basis [mm] $(\underline{v}) [/mm] = [mm] (v_1, v_2, [/mm] ..., [mm] v_n) [/mm] $ des [mm] \IC [/mm] - Vektorraumes in eine Basis des [mm] \IR [/mm] - Vektorraumes umwandeln möchte und mir zur vorhandenen Basis [mm] $(\underline{v})$ [/mm] um [mm] $(i\underline{v})$ [/mm] erweiter und somit [mm] $(\underline{v}, i\underline{v})$ [/mm] erhalte ?
Wie müssen die Vektoren [mm] $(v_1, v_2, [/mm] ..., [mm] v_n) [/mm] $ des [mm] \IC [/mm] - Vektorraumes ausschauen, damit sie eine komplexe Ebene erzeugen? Was ist das eigentlich, wenn ich n Vektoren brauche um den komplexen Vektorraum zu erzeugen - kann mir nix darunter vorstellen und hab auch kein Gefühl dafür.
Thx & greetz
sonnenblumale
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Alpha23 |
> Hi!
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> Wieso kann ich nicht gleich sagen, dass für
> [mm]z = a + bi[/mm] gilt
> [mm]z^{-1} = \bruch{1}{a+bi}[/mm] ?
Klar kannst du das, aber das musst du irgendwie noch umschreiben in eine komplexe Zahl, also wieder in der Form a+ib darstellen.
Die Idee zum Dividieren entspringt hieraus:
[mm]|z|=\wurzel{z\overline{z}} \gdw |z|^{2}=z\overline{z} \gdw \bruch{1}{z}=\bruch{\overline{z}}{|z|^{2}}[/mm]
Und das kannst du wieder als Linearkombination aus Real- und Imaginärteil darstellen.
Bei Vektorbasis bin ich momentan überfragt, hab' meine Vordiplomsprüfung in Algebra mit Müh' und Not geschafft und mir vorgenommen, damit nichts mehr zu tun zu haben ;).
Gruß
Timo
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Hi!
Danke, das war die Info, die ich benötigt habe (Darstellung als komplexe Zahl).
Vielleicht hat ja jemand anderer eine Idee zur Vektorbasis.
Thx anyway :)
greetz
sonnenblumale
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 So 19.03.2006 | | Autor: | felixf |
Sali!
> Hab inzwischen noch eine weitere Frage:
> Wie kann ich mir das vorstellen, wenn ich die Basis
> [mm](\underline{v}) = (v_1, v_2, ..., v_n)[/mm] des [mm]\IC[/mm] -
> Vektorraumes in eine Basis des [mm]\IR[/mm] - Vektorraumes umwandeln
> möchte und mir zur vorhandenen Basis [mm](\underline{v})[/mm] um
> [mm](i\underline{v})[/mm] erweiter und somit [mm](\underline{v}, i\underline{v})[/mm]
> erhalte ?
Was verstehst du unter vorstellen? 
Vielleicht hilft dir das ja: Ein eindimensionaler komplexer Vektorraum $V = [mm] \mathrm{span}_\IC\{ v \}$ [/mm] ist ja ein zweidimensionaler reeller Vektorraum: einmal hast die Achse [mm] $\mathrm{span}_\IR\{ v \}$, [/mm] die du wie gewohnt mit reellen Zahlen skalieren kannst, und dann kannst du dich halt noch drehen. (Das kann man sich schoen in der komplexen Zahlenebene anschauen :) ) Diese Drehung bekommst du durch Multiplikation mit $i$ hin, und $i$ hast du halt im Reellen nicht... Wenn du aber den Vektor $v$, gedreht um etwa 90 Grad (was dann $i v$ ist), hinzunimmst, kannst du damit durch [mm] $\IR$-Linearkombinationen [/mm] alle Vektoren aus $V$ erreichen, sowohl die ``ungedrehten'' aus [mm] $\mathrm{span}_\IR\{ v \}$ [/mm] als auch alle anderen...
> Wie müssen die Vektoren [mm](v_1, v_2, ..., v_n)[/mm] des [mm]\IC[/mm] -
> Vektorraumes ausschauen, damit sie eine komplexe Ebene
> erzeugen?
Was meinst du damit? Bzw. meinst du mit komplexe Ebene einen zweidimensionalen reellen Vektorraum (als komplexer Vektorraum ist es eine Gerade), oder meinst du einen vierdimensionalen reellen Vektorraum (als komplexer Vektorraum zweidimensional, also dort eine Ebene)? Der Sprachgebrauch ist hier leider nicht eindeutig, oft sagt man zu [mm] $\IC$ [/mm] selber ja auch komplexe (Zahlen-)Ebene
> Was ist das eigentlich, wenn ich n Vektoren
> brauche um den komplexen Vektorraum zu erzeugen - kann mir
> nix darunter vorstellen und hab auch kein Gefühl dafür.
Nun, das heisst schlicht und einfach das du $n$ Vektoren brauchst, so dass deren [mm] $\IC$-Linearkombinationen [/mm] alle Vektoren erreichen koennen. Da [mm] $\IC$-Vektorraeume [/mm] ab Dimension 2 aufgefasst als reelle Vektorraeume (die kann man sich ja vorstellen) vierdimensional sind ist das nicht verwunderlich das du dir da nix drunter vorstellen kannst.
Vielleicht musst du dich einfach damit abfinden das du sie als abstrakte Objekte auffassen musst. Ebenso wie Vektorraeume ueber endlichen Koerpern oder $n$-dimensionalen reellen Vektorraeumen mit $n [mm] \ge [/mm] 4$ (oder $n [mm] \ge [/mm] 5$, fuer die Leute die unter einem vierdimensionalen Vektorraum sowas wie Raum+Zeit verstehen und sich das damit veranschaulichen koennen :) )...
Ich hoff mal das hilft dir ein wenig...
LG Felix
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