µ-Integrierbarkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:50 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Welche der folgenden Funktionen sind integrierbar/quasi-integrierbar bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes auf [mm] \Omega\cap\IB? [/mm] Berechnen Sie die Integrale über [mm] \Omega.
[/mm]
a) [mm] \Omega=[1,\infty), f(x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
b) [mm] \Omega=(0,1], f(x)=x^{-1/2}
[/mm]
c) [mm] \Omega=(1,\infty), f(x)=(x*ln(x))^{-1}
[/mm]
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Hallo
Wir haben noch nie in der Vorlesung oder der Übung ein Beispiel dazu gemacht. Könnte mir vielleicht jemand an einem der Beispiele die Vorgehensweise erläutern, damit ich das Prinzip erkenne.
Wäre echt super, danke! Mein Problem ist auch, dass uneigentliche Integrale vorliegen und ich nicht genau weiß, in welchen Fällen ich "Lebesgue-Integral = uneigentliches R-Integral" setzen darf.
Viele Grüße
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo,
also ich habe jetzt folgenden Satz gefunden:
Sei [mm] I\subset\IR [/mm] ein Intervall und [mm] f:I\to\IR [/mm] eine auf jedem komakten Teilintervall von I Riemann-integrierbare Fkt. Dann gilt:
f ist Lebesgue-integrierbar auf I [mm] \gdw. [/mm] |f| ist uneigentlich Riemann-integrierbar auf I ist. Ferner ist dann im letzten Fall: L-Integral = R-Integral
Hab mich dann mal an den Beispielen probiert:
[mm] \integral_{0}^{\infty}|f|dx=\limes_{y\to\infty}\integral_{0}^{y}\bruch{1}{x}dx=\limes_{y\to\infty}(\ln(y)-ln(1)=\infty
[/mm]
Folglich ist f nicht [mm] \lambda-integrierbar.
[/mm]
Analog erhalte ich dann für b)c):
[mm] \integral_{0}^{1}\bruch{1}{\wurzel(x)}=2 [/mm] , also [mm] \lambda-integrierbar [/mm] (Stammfunktion: [mm] 2\wurzel(x))
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{\infty}\bruch{1}{x*ln(x)}dx=\infty
[/mm]
(Stammfunktion ln(ln(x))
also nicht [mm] \lambda-integrierbar
[/mm]
Die Funktionen von a) und c) sind allerdings quasi-integrierbar,
da für beide gilt: [mm] f^{-}=0, [/mm] da f positiv
Stimmen die Argumentationen?
LG
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Mo 06.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> also ich habe jetzt folgenden Satz gefunden:
> Sei [mm]I\subset\IR[/mm] ein Intervall und [mm]f:I\to\IR[/mm] eine auf jedem
> komakten Teilintervall von I Riemann-integrierbare Fkt.
> Dann gilt:
> f ist Lebesgue-integrierbar auf I [mm]\gdw.[/mm] |f| ist
> uneigentlich Riemann-integrierbar auf I ist. Ferner ist
> dann im letzten Fall: L-Integral = R-Integral
>
> Hab mich dann mal an den Beispielen probiert:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}|f|dx=\limes_{y\to\infty}\integral_{0}^{y}\bruch{1}{x}dx=\limes_{y\to\infty}(\ln(y)-ln(1)=\infty[/mm]
>
> Folglich ist f nicht [mm]\lambda-integrierbar.[/mm]
>
> Analog erhalte ich dann für b)c):
> [mm]\integral_{0}^{1}\bruch{1}{\wurzel(x)}=2[/mm] , also
> [mm]\lambda-integrierbar[/mm] (Stammfunktion: [mm]2\wurzel(x))[/mm]
>
> [mm]\integral_{1}^{\infty}\bruch{1}{x*ln(x)}dx=\infty[/mm]
> (Stammfunktion ln(ln(x))
> also nicht [mm]\lambda-integrierbar[/mm]
>
> Die Funktionen von a) und c) sind allerdings
> quasi-integrierbar,
> da für beide gilt: [mm]f^{-}=0,[/mm] da f positiv
>
> Stimmen die Argumentationen?
Alles bestens
FRED
>
> LG
> Christian
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Fry |
Vielen Dank! Gruß
Christian
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