monotone Konvergenz < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Do 29.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes der monotonen Konvergenz
[mm] \limes_{n \to \infty} \integral_{0}^n (1 + \bruch{x}{n})^n e^{-2x} dx [/mm]
Es darf benutzt werden, dass gilt
[mm] \limes_{n \to \infty } (1 + \bruch{x}{n})^n e^{-2x} = e^{x} [/mm]
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Guten Abend alle zusammen!
Ich beschäftige mich zur Zeit mit den Konvergenzsätzen und habe hierbei folgendes Problem.
Um den Satz der monotonen Konvergenz anwenden zu können, muss ich zeigen, dass die [mm] f_n [/mm] eine fast überall monoton steigende Folge von integrierbaren Funktionen sind und dass die Folge der Integrale beschränkt ist... Das ist mein Problem!!!
Wenn ich dies habe , dann weiß ich ja dass meine Funktionenfolge insgesamt gegen die Grenzfunktion [mm] e^{-x} [/mm] konvergiert und ich dann ja über diese Funktion integrieren kann. Dann würde ich als Endergebnis -1 erhalten, was ich ebenfalls seltsam finde... Ein negatives Ergebnis... Habe ich da auch einen Denkfehler???
Ich hoffe, jemand kann mir zeigen, wie ich diese monotono Konvergenz zeige und mir sagen, ob diese Ergebnis sein kann.
Danke schon mal!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Do 29.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Irmchen!
Man erhält kein negatives Ergebnis für das Integral, da Du ja noch den Wert [mm] $-e^0 [/mm] \ = \ -1$ abziehen musst, was dann $+1_$ entspricht.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Do 29.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
Danke für das Zwischenergebnis! Ich habe blöderweise das Minuszeichen total vergessen... Dennoch habe ich leider noch nicht die monotone punktweise Konvergenz zeigen können :-( ...
Vielen Dank nochmal!
Gruß Irmchen
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Hallo Irmchen,
> Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes der monotonen
> Konvergenz
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> [mm]\limes_{n \to \infty} \integral_{0}^n (1 + \bruch{x}{n})^n e^{-2x} dx[/mm]
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> Es darf benutzt werden, dass gilt
>
> [mm]\limes_{n \to \infty } (1 + \bruch{x}{n})^n e^{-2x} = e^{x} [/mm]
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> Guten Abend alle zusammen!
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> Ich beschäftige mich zur Zeit mit den Konvergenzsätzen und
> habe hierbei folgendes Problem.
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> Um den Satz der monotonen Konvergenz anwenden zu können,
> muss ich zeigen, dass die [mm]f_n[/mm] eine fast überall monoton
> steigende Folge von integrierbaren Funktionen sind und dass
> die Folge der Integrale beschränkt ist... Das ist mein
> Problem!!!
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> Wenn ich dies habe , dann weiß ich ja dass meine
> Funktionenfolge insgesamt gegen die Grenzfunktion [mm]e^{-x}[/mm]
> konvergiert und ich dann ja über diese Funktion integrieren
> kann. Dann würde ich als Endergebnis -1 erhalten, was ich
> ebenfalls seltsam finde... Ein negatives Ergebnis... Habe
> ich da auch einen Denkfehler???
>
> Ich hoffe, jemand kann mir zeigen, wie ich diese monotono
> Konvergenz zeige und mir sagen, ob diese Ergebnis sein
> kann.
musste gerade mein wissen bezueglich der konvergenzsaetze ein wenig auffrischen, aber meine quellen sagen: als voraussetzung fuer den satz von der monot. konv. reicht es, nichtnegative fkten. zu haben die monoton wachsen und gegen eine fkt. konvergieren. du musst in diesem fall NICHT zeigen, dass die folge der integrale beschraenkt ist, denn wir wissen ja schon, dass die grenzfkt. [mm] $e^{-x}$ [/mm] intbar ist!
betrachte also die fkt.
[mm] $f_n=\chi_{[0,N]}(1+\frac{x}{n})^n e^{-2x}$ [/mm] auf [mm] $\mathbb{R}$
[/mm]
und zeige, dass diese monoton waechst. im wesentlichen laeuft das auf die montonie der exponentialfolge [mm] $(1+\frac{x}{n})^n$ [/mm] hinaus, deren beweis du problemlos im netz finden wirst.
gruss
matthias
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