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| Aufgabe | [mm] a_{n}=(1+\bruch{1}{n})^{n}, n\ge1
[/mm]
zu zeigen: [mm] a_{n} [/mm] ist streng monoton steigend |
Hallo,
ich habe nun so angefangen:
zu zeigen ist [mm] a_{n+1}>a_{n}, [/mm] also [mm] (1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}>(1+\bruch{1}{n})^{n}
[/mm]
nun habe ich versucht diese Ungleichung so oft umzuformen, bis sich mir ergibt warum sie richtig ist, bin leider aber nie zu einem schlüssigen ergebnis gekommen, da die Nenner nicht übereinstimmen und ich so nicht vereinfachen kann.
kann mir jemand einen Tipp geben??
vielen Dank im Vorraus Reticella
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Website gestellt.
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Hey,
zeige hier lieber [mm] \frac{a_n}{a_{n-1}}>1. [/mm] Das ist einfacher. Zwischendurch solltest du dann einmal die Bernoulli'sche Ungleichung anwenden.
Gruß Patrick
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Hallo,
ich habe also [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n}\ge2 [/mm] (Beweis durch vollstänidge Induktion)
[mm] \Rightarrow\bruch{(1+\bruch{1}{n})^{n}}{1+1}\ge1
[/mm]
[mm] \Rightarrow\bruch{(1+\bruch{1}{n})^{n}}{(1+\bruch{1}{n-1})^{n-1}}\ge\bruch{(1+\bruch{1}{n})^{n}}{1+1}\ge1
[/mm]
[mm] \Rightarrow {(1+\bruch{1}{n})^{n}}\ge{(1+\bruch{1}{n-1})^{n-1}}
[/mm]
leider bräuchte ich aber ein >. kann mir bitte noch einmal jemand helfen??
vielen Dank Reticella
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Fr 14.11.2008 | | Autor: | abakus |
Hallo,
du solltest den Hinweis mit der Bernoullischen Ungleichung nicht ignorieren.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:02 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Reticella |
hallo,
hab ich doch auch oder?
z. B. von hier
[mm] \Rightarrow\bruch{(1+\bruch{1}{n})^{n}}{1+1}\ge1
[/mm]
nach hier
[mm] \Rightarrow\bruch{(1+\bruch{1}{n})^{n}}{(1+\bruch{1}{n-1})^{n-1}}\ge\bruch{(1+\bruch{1}{n})^{n}}{1+1}\ge1
[/mm]
Viele Grüße Reticella
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:25 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Reticella |
Hallo, habe mittlerweile das Problem gelöst, vielen Dank!
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