monoton steigend, Binomialvert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:50 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Damn88 |
| Aufgabe | Seien [mm] X_i B(n,p_i)-verteilte [/mm] Zufallsvariablen i=1,2. Dabei sei [mm] p_1 [/mm] < [mm] p_2.
[/mm]
Beweisen Sie: [mm] P(X_1 \le [/mm] k) [mm] \re P(X_2 \le [/mm] k) für k=0,1,...,n |
Hallo zusammen, ich poste mal meinen Ansatz!
[mm] P(X_1 \le [/mm] k) [mm] \ge P(X_2 \le [/mm] k)
<=> 1 [mm] -P(X_1 [/mm] > k) [mm] \ge P(X_2 [/mm] > k)
<=> [mm] P(X_1 [/mm] > k) [mm] \le P(X_2 [/mm] > k)
<=> [mm] \summe_{i=k+1}^{n} \vektor{n \\ i}*p_1^{i}*(1-p_1)^{n-i} \le \summe_{i=k+1}^{n} \vektor{n \\ i}*p_2^{i}*(1-p_2)^{n-i}
[/mm]
Nun Betrachte ich f(p) = [mm] \summe_{i=k+1}^{n} \vektor{n \\ i}*p^{i}*(1-p)^{n-i}
[/mm]
Wenn ich zeige, dass f monoton steigend ist, dann habe ich die Behauptung bewiesen..
Also betrachte ich die Ableitung
f'(p) = [mm] \summe_{i=k+1}^{n} \vektor{n \\ i}*p^{i-1}*(1-p)^{n-i-1}(i-p*n)
[/mm]
es gilt:
[mm] \vektor{n \\ i} \ge [/mm] 0
[mm] p^{i-1} \ge [/mm] 0
[mm] (1-p)^{n-i-1} \ge [/mm] 0
Also liegt das Problem bei (i-pn) denn das ist leider nicht immer [mm] \ge [/mm] 0 sondern: [mm] (i-pn)\ge [/mm] 0 <=> i [mm] \ge [/mm] pn
Aber wie zeige ich denn nun, dass f'(p) immer [mm] \ge [/mm] 0 ist?
ich habs mit Induktion versucht..aber hab es nicht hinbekommen das so umzuformen das ich die IV einsetzen kann!
Hat vielleicht jemand einen besseren Lösungsansatz?
Für Tipps wäre ich sehr dankbar!
Grüße,
Damn
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Hallo,
schreibe doch die Ableitung in zwei Summen:
[mm] A=\summe_{i=k+1}^{n}\vektor{n \\k }(i)p^{i-1}(1-p)^{n-i} [/mm] und [mm] B=\summe_{i=k+1}^{n}\vektor{n \\k}(n-i)p^{i}(1-p)^{n-i-1}. [/mm]
Falls du nun zeigen kannst, dass [mm] A-B\ge0 [/mm] ist, dann hast du gezeigt, dass die Steigung von f immer größer gleich 0 ist. Um das zu zeigen kannst du z.B den Binomialkoeffizienten konkret ausschreiben in [mm] \bruch{n!}{(i)!(n-i)!}*(i) [/mm] probieren, wie du es zu deinem Gunsten umschreiben kannst.
Tipp: in vielen Summen dieser Art kommt man oft mit Indexverschiebung weiter.
Gruß
Kopfkirmes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 So 16.11.2008 | | Autor: | Damn88 |
Danke schön, so in der Art hatte ich es irgendwann danach noch geschafft :)
Ich weiß nur nicht wie ich die Frage hier "abhaken" kann
Trotzdem danke für deine Hilfe!
Viele Grüße,
Damn
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