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Hallo, ich habe eine Aufgabe die ich nachvollziehen möchte, aber ich verstehe den folgenden Schritt nicht:
[mm] m_2(1+2i)\equiv1mod(1-i)
[/mm]
[mm] \Rightarrow m_2=(-1)
[/mm]
Wieso? Wieso gilt:
[mm] -1-2i\equiv1mod(1-i)
[/mm]
Das verstehe ich nicht :(
Wäre für eine kurze Erklärung dankbar!
Gruß vom congo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 So 24.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich nehme , Du bewegst Dich in [mm] \IZ[i]
[/mm]
http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integer
FRED
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Ja klar, sorry 
trotzdem verstehe ich die obige Rechnung nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 So 24.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1-i und 1+i sind die kleinsten ganzen komplexen primzahlen.
alle anderen ganzen Zahlen können sich mod dieser Primzahl also nur 0, oder 1=-1=i=-i unterscheiden.
Vergleich im reellen: 2 ist die kleinste Primzahl, jede ganze Zahl n ist
0 mod 2 (also gerade) oder 1mod 2=-1mod 2
Wenn du also gefragt wirst m2*1785=1mod 2 dann weisst du m2=1 oder m2=-1 und alle m2=2k+1 sind Lösungen.
ebenso sind alle ganzen komplexen Zahlen, die nicht Vielfache von 1-i sind Lösungen für m2 aber wie üblich nimmt man den kleinsten Repräsentanten, hier 1 oder -1 oder i oder -i alle Betrag 1
anschaulich: wenn du eine relle zahl n hast und m2*n=3mod p hast, wie gehst du vor? Beispiel m2*13=2mod5?
du markierst auf der Zahlengerade alle Vielfache von 5 rot, alle vielfache von 13 schwarz, und siehst nach , wo sie den Abstand +2 haben. und siehe, du findest 4*13=10*5+3 also hast du m2=4, natürlich dann auch m2+5, m2+10 usw sind lösungen.
jetzt im Komplexen- siehe Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
alle Vielfache von 1-i (dicker roter Punkt) liegen auf den Gitterpunkten des roten Gitters,alle ganzen Zahlen auf dem schwarzen Gitterpunkten. 1+2i ist wie man sieht in allen 4 richtungen 1 entfernt von roten gitterpunkten, d.h. 1+2i+1,1+2i-1, 1+2i+i,1+2i-1 sind die nächsten Nachbarn eeines Vielfachen von (1-i).
Wenn du nicht zeichnen willst musst du "das kleine 1*1 der komplexen Zahlen eben auswedig können.
zur Übung: was ist (6+2i) mod (1-i)
was ist 5 mod (1-i)
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> zur Übung: was ist (6+2i) mod (1-i)
> was ist 5 mod (1-i)
> Gruss leduart
Puh, erstmal danke für die Antwort! Grübel schon ein wenig über deiner Erläuterung...
Also wenn ich das nun richtig verstanden habe ist [mm] (6+2i)\equiv1mod(1-i) [/mm] und [mm] 5\equiv0mod(1-i). [/mm] Stimmt das?
Hätte ich dann bei meiner Aufgabe nichtauch [mm] m_2=1 [/mm] setzen können?
Gruß
congo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 So 24.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
5=5+0*i liegt doch nicht auf einem roten Gitterpunkt, wie kommst du da auf 0 mod (1-i)
bei 6+2i liegst du richtig.
wie ists mit i oder -2i?
ich hatte doch geschrieben dass es für m2 unendlich viele lösungen gibt, u.a. 1,-1,i,-i als die kleinsten Repräsentanten! Wie genau liest du die mit Mühe erstellten posts?
Gruss leduart
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> Hallo
> 5=5+0*i liegt doch nicht auf einem roten Gitterpunkt, wie
> kommst du da auf 0 mod (1-i)
Na ich dachte, eben weil 5 nicht auf dem roten Gitter liegt kann es nur 0mod(1-i) sein. Aber jetzt hab ichs glaub ich: 5 ist 1 in allen Richtungen vom roten Gitterpkt. entfernt, also +-1/+-i. Heißt das dann z.B. [mm] 5\equiv2mod(1-i), [/mm] oder wie deute ich dann die graphische Darstellung in die modulo-Schreibweise?
> bei 6+2i liegst du richtig.
> wie ists mit i oder -2i?
> ich hatte doch geschrieben dass es für m2 unendlich viele
> lösungen gibt, u.a. 1,-1,i,-i als die kleinsten
> Repräsentanten! Wie genau liest du die mit Mühe
> erstellten posts?
Tut mir leid, wenn das so ankommt, als würde ich mir die Posts nicht genau durchlesen. Glaube mir dem ist nicht so, es fällt mir nur nicht so leicht das gleich nachzuvollziehen. Ich stelle ja hier Fragen, damit ich es verstehe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Mo 25.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
alle ganzen kompl Zahlen sind von den Vielfachen von 1-i höchsten 1 entfernt, wie du an den Gitterpunkten siehst, also hast du, wenn du den kleinsten Repräsentanten nimmst immer z=0 mod(1-i) oder z=1mod 1-i für z ganz. 5=1mod(1-i) 2=0mod 1-i denn (1+i)(1-i)=2! ob du also 5=0 mod 1-i schreibst oder 5=2mod (1-i) schreibst ist gleich falsch.
Wie kriegst du denn raus, was 55mod2 ist (reell) da kannst du doch auch schreiben 55=1mod2=3mod2=5mod 2 =-1mod2 so wie 2,4,6,88,12348 Reprasentanten für 0 mocd 2 sind sind Alle gitterpunkte des roten Gitters repräsentanten von 0mod(1-i) alle Punkte des schwarzen Gitters die nicht auch auf dem roten liegen sind 1mod(1-i)
Gruss leduart
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