mit Parameter < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Nils92 |
| Aufgabe | | Untersuche die Funktion [mm] f_{t} [/mm] mit [mm] f_{t}(x)=t^2 [/mm] * sin(x) + [mm] (t^{2}-1)*cos(x) [/mm] |
Ich weiß auch nicht aber unserer Mathelehrer war heute ziemlich schlecht drauf und hat uns einfach diese Aufgabe gegeben. Die Definitionsmenge(alle reelen Zahlen) und die Symmetrie(keine!) sowie das Globalverhalten(keins!) hab ich schon. Als nächstes wären die Nullstellen dran:
[mm] 0=t^2 [/mm] * sin(x) + [mm] (t^{2}-1)*cos(x)
[/mm]
So und nun steh ich da.
Ich habe keine Ahnung wie ich das jetzt rechnen soll.
Unser Mathelehrer hat gemeint das können wir noch nicht lösen, wird aber wahrscheinlich in der Arbeit drankommen -.-
Ich versteh den nicht, der gibt uns eine Aufgabe, die wir mit unserem Wissensstand noch nicht lösen können.
Meine Frage besteht jetzt darin, dass ich das trotzdem gerne ausrechnen möchte.
Weiß jemand wie das geht?
LG
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> Untersuche die Funktion [mm]f_{t}[/mm] mit [mm]f_{t}(x)=t^2[/mm] * sin(x) +
> [mm](t^{2}-1)*cos(x)[/mm]
> Ich weiß auch nicht aber unserer Mathelehrer war heute
> ziemlich schlecht drauf und hat uns einfach diese Aufgabe
> gegeben. Die Definitionsmenge(alle reelen Zahlen) und die
> Symmetrie(keine!)
überlege dir mal, für welche t der cosinusterm wegfällt? denn dann wär die funktion punktsymmetrisch.. und für welche t fällt der sinusterm weg? dann wäre dort die funktion achsensymmetrisch..
> sowie das Globalverhalten(keins!)
was ist damit explizit gemeint?
> hab ich
> schon. Als nächstes wären die Nullstellen dran:
>
> [mm]0=t^2[/mm] * sin(x) + [mm](t^{2}-1)*cos(x)[/mm]
du könntest den sinus auf die linke seite holen, durch den cos(x) teilen, und das [mm] t^2 [/mm] rüberbringen um links einen tan(x) zu bekommen und rechts alles was mit t zu tun hat.. darauf wendest du dann die umkehrfunktion des tangens an (arctan [mm] +k\pi) [/mm] um nach x aufzulösen
>
>
> So und nun steh ich da.
> Ich habe keine Ahnung wie ich das jetzt rechnen soll.
> Unser Mathelehrer hat gemeint das können wir noch nicht
> lösen, wird aber wahrscheinlich in der Arbeit drankommen
> -.-
>
> Ich versteh den nicht, der gibt uns eine Aufgabe, die wir
> mit unserem Wissensstand noch nicht lösen können.
>
> Meine Frage besteht jetzt darin, dass ich das trotzdem
> gerne ausrechnen möchte.
> Weiß jemand wie das geht?
>
> LG
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Nils92 |
Omg das hatten wir alles noch gar nicht. Das Globalverhalten bedeutet, Limes x->unendlich und limes x-> -unendlich
Danke für den Tipp wie man das löst, aber davon lass ich erstmal meine Finger :D
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> Omg das hatten wir alles noch gar nicht. Das
> Globalverhalten bedeutet, Limes x->unendlich und limes x->
> -unendlich
achso ok, dann hast du recht dass es keinen grenzwert gibt, weil die funktion oszilliert
>
> Danke für den Tipp wie man das löst, aber davon lass ich
> erstmal meine Finger :D
naja so schwer ist das eigentlich nicht
[mm] 0=t^2*sin(x)+(t^2-1)*cos(x)
[/mm]
[mm] \gdw t^2*sin(x)=-(t^2-1)*cos(x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{sin(x)}{cos(x)}=tan(x)=\frac{-(t^2-1)}{t^2}
[/mm]
[mm] \gdw x=arctan\left(\frac{-t^2+1}{t^2}\right)+k\pi
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Nils92 |
AH ja gut, stimmt jetzt siehts einfach, blöd nur das wir die Sinus- und Cosinussätze noch nicht besprochen hatten :D
SO dann muss ich jetzt die Extrempuntke bestimmen, da komme ich ebenfalls nicht weiter:
1. Ableitung = 0 = [mm] t^2 [/mm] * cos(x) + [mm] (t^{2}-1) [/mm] * -sin(x)
0 = [mm] t^2 [/mm] *cos(x) [mm] -t^2 [/mm] *sin(x) + sin(x) |cos(x)
0= [mm] t^2 [/mm] - [mm] t^2 [/mm] * tan(x) + tan(x)
SO da ist der Punkt wo ich überhaupt nicht weiter weiß, HILFE ...
Danke im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Sa 21.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du schreibst sehr verwirrend auf, wenn ich das jetzt richtig interpretiere hast du:
[mm] f_{t}'(x)=t^{2}*\cos(x)+(t^{2}-1)*(-\sin(x))
[/mm]
[mm] =t^{2}*\cos(x)-(t^{2}-1)*\sin(x)
[/mm]
, was völlig korrekt ist.
Und diese willst du =0 setzen, um die notwendige Bedingnug für Extrema zu nutzen, also "Kandidaten" für Extremstellen zu finden.
Also hast du:
[mm] 0=t^{2}*\cos(x)-(t^{2}-1)*\sin(x)
[/mm]
[mm] \gdw t^{2}*\cos(x)=(t^{2}-1)*\sin(x)
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{t^{2}}{t^{2}-1}=\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{t^{2}}{t^{2}-1}=\tan(x)
[/mm]
Und jetzt bist du wieder dran.
Vergiss dann bitte auch nicht, die hinreichende bedingung abzuklopfen, also [mm] f_{t}''(x_{e})<0 [/mm] für Hochpunkte und [mm] f_{t}''(x_{e})>0 [/mm] für Tiefpunkte.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Nils92 |
Lustig, dann hab ich jetzt folgendes:
[mm] f_{t}´´(x)= -t^2 [/mm] * sin(x) - [mm] (t^2 [/mm] - 1)cos(x)
dann hab ich folgendes wenn ich x= [mm] tan^{-1} (\bruch{t^2}{t^2 -1} [/mm] einsetze:
[mm] f_{t}´´(tan^{-1} (\bruch{t^2}{t^2 -1})= -t^2 [/mm] * [mm] sin(tan^{-1} (\bruch{t^2}{t^2 -1}) [/mm] - [mm] (t^2 [/mm] - [mm] 1)cos(tan^{-1} (\bruch{t^2}{t^2 -1})
[/mm]
Oo und was jetzt? Das wird mit irgendwie immer komplizierter
Gibts da irgendwelche Additionstheoreme für [mm] sin(tan^{-1}(x)) [/mm] oder für [mm] cos(tan^{-1}(x)) [/mm] ?
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Hallo Nils92,
> Lustig, dann hab ich jetzt folgendes:
>
> [mm]f_{t}´´(x)= -t^2[/mm] * sin(x) - [mm](t^2[/mm] - 1)cos(x)
>
> dann hab ich folgendes wenn ich x= [mm]tan^{-1} (\bruch{t^2}{t^2 -1}[/mm]
Hier muss doch
[mm]x=tan^{-1}\left(\bruch{1-t^2}{t^2}\right)[/mm]
sein.
> einsetze:
>
> [mm]f_{t}´´(tan^{-1} (\bruch{t^2}{t^2 -1})= -t^2[/mm] *
> [mm]sin(tan^{-1} (\bruch{t^2}{t^2 -1})[/mm] - [mm](t^2[/mm] - [mm]1)cos(tan^{-1} (\bruch{t^2}{t^2 -1})[/mm]
>
> Oo und was jetzt? Das wird mit irgendwie immer
> komplizierter
>
> Gibts da irgendwelche Additionstheoreme für
> [mm]sin(tan^{-1}(x))[/mm] oder für [mm]cos(tan^{-1}(x))[/mm] ?
Wie sich der Sinus bzw. Cosinus mittels Tangens ausdrücken läßt,
kannst Du aus der Beziehung
[mm]\tan^{2}\left(x\right)=\bruch{\sin^{2}\left(x\right)}{\cos^{2}\left(x\right)}[/mm]
herausfinden.
Soviel brauchst Du hier aber gar nicht zu rechnen,
denn diese Gleichung ist Dir bestimmt schon mal in
der Aufgabe über den Weg gelaufen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Nils92 |
Ja das ist mir schon klar, aber was ist bei einer Verkettung?
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Hallo Nils,
ich bezweifle, dass ihr jetzt wirklich noch die y-Werte der Extremstellen bestimmen sollt. Was
sin(arctan(x))
und
cos(arctan(x))
ist, lernt man nämlich nicht in der Schule, würde ich behaupten [mm] [\tan^{-1}(x) [/mm] = arctan(x)]. Es gilt aber, falls du es gern wissen möchtest:
$sin(arctan(x)) = [mm] \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$
[/mm]
und
$cos(arctan(x)) = [mm] \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$.
[/mm]
Du kannst dir das übrigens folgendermaßen herleiten:
Sei $y = arctan(x)$
Es gilt
[mm] $\sin^{2}(y) [/mm] + [mm] \cos^{2}(y) [/mm] = 1$,
also
[mm] $\frac{\sin^{2}(y)}{\cos^{2}(y)} [/mm] + 1 = [mm] \frac{1}{\cos^{2}(y)}$
[/mm]
[mm] $\gdw \tan^{2}(y) [/mm] + 1 = [mm] \frac{1}{\cos^{2}(y)}$
[/mm]
Wir wissen, dass $y = arctan(x)$ und somit [mm] $\tan^{2}(y) [/mm] = [mm] \tan^{2}(arctan(x)) [/mm] = [mm] x^{2}$:
[/mm]
[mm] $\gdw x^{2} [/mm] + 1 = [mm] \frac{1}{\cos^{2}(y)}$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{1}{x^{2} + 1} [/mm] = [mm] \cos^{2}(y)$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} [/mm] = [mm] \cos(y) [/mm] = [mm] \cos(arctan(x))$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 So 22.11.2009 | | Autor: | Nils92 |
Ja ok, wenn das so ist dann brauch ich das wohl nicht.
Als nächstes muss ich folgendes machen:
Zeige mit Additionstheoremem:
[mm] t^2*sin(x)+(t^2-1)*cos(x)=a*sin(x+b) [/mm] mit
[mm] a=\wurzel{t^4 +(t^2-a)^2} [/mm] und [mm] tan(b)=1-\bruch{1}{t^2}
[/mm]
Was soll ich da denn jetzt genau machen? Ich steig da irgendwie nicht durch...
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Hallo Nils,
> Zeige mit Additionstheoremem:
>
> [mm]t^2*sin(x)+(t^2-1)*cos(x)=a*sin(x+b)[/mm] mit
>
> [mm]a=\wurzel{t^4 +(t^2-a)^2}[/mm] und [mm]tan(b)=1-\bruch{1}{t^2}[/mm]
>
> Was soll ich da denn jetzt genau machen? Ich steig da
> irgendwie nicht durch...
Du nimmst dir die rechte Seite deiner Gleichung, die gelten soll, also
[mm] $a*\sin(x+b)$.
[/mm]
Nun kennst du ein Additionstheorem für den Sinus, und das lässt uns den Term umformen zu:
[mm] $a*\Big(\sin(x)*\cos(b) [/mm] + [mm] \sin(b)*\cos(x)\Big)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow a*\cos(b)*\sin(x) [/mm] + [mm] a*\sin(b)*\cos(x)$.
[/mm]
Nun führst du einen so genannten Koeffizientenvergleich mit der linken Seite deiner ursprünglichen Gleichung durch. Du weißt, es soll sein:
[mm] $t^2*\sin(x)+(t^2-1)*\cos(x) [/mm] = [mm] a*\cos(b)*\sin(x) [/mm] + [mm] a*\sin(b)*\cos(x)$
[/mm]
Das kann nur für alle x erfüllt sein, wenn der Vorfaktor von [mm] \sin(x) [/mm] links gleich dem Vorfaktor von [mm] \sin(x) [/mm] rechts ist, also wenn gilt:
[mm] $t^{2} [/mm] = [mm] a*\cos(b)$
[/mm]
Genau das gleiche kannst du für [mm] \cos(x) [/mm] folgern:
[mm] $t^2-1 [/mm] = [mm] a*\sin(b)$
[/mm]
Nun hast du ein Gleichungssystem, dass du nach a und b auflösen musst.
Dazu noch eine Frage: Steht oben wirklich [mm] $a=\wurzel{t^4 +(t^2-a)^2}$, [/mm] also ein a in der Wurzel? Weil dann wäre das ja irgendwie "sinnlos"...
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 So 22.11.2009 | | Autor: | Nils92 |
Oh nee das warn Tippfehler von mir, da muss anstatt von a ne eins stehen
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Hallo Nils,
hier noch ein paar Tipps, wie du vom Gleichungssystem zu den beiden Lösungen kommst:
Lösung für b): Teile die beiden Gleichungen; d.h. nimm die erste Gleichung und teile deren linke Seite durch die linke Seite der anderen Gleichung; teile deren rechte Seite durch die rechte Seite der anderen Gleichung.
Die Gleichung, die du als Ergebnis erhältst, ist wieder eine gültige Gleichung.
Lösung für a): Quadriere zunächst beide Gleichungen. Dann addiere sie aufeinander. Bei der rechten Seite kannst du nun anwenden, dass [mm] \sin^{2}(x) [/mm] + [mm] \cos^{2}(x) [/mm] = 1.
Grüße,
Stefan
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