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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:27 Mi 30.04.2008 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Sei A eine Cartan Matrix und [mm] (h,B,\hat{B}) [/mm] eine minimale Realisierung von A mit [mm] B=\begin{Bmatrix}b_i;i\inI\end{Bmatrix} [/mm] und [mm] \hat B=\begin{Bmatrix}\hat b_i; i\inI\end{Bmatrix}.
[/mm]
Zeige [mm] dass:\cap_i [/mm] ker [mm] b_i\subset \oplus_i\IC \cap b_i.
[/mm]
Folgere daraus: Das Tripel ist eindeutig bis auf Isomorphie, d.h. wenn es mehrere minimale REalisierungen gibt, so gibt es einen Isomorphismus f: [mm] h\to [/mm] h' mit [mm] f(\hat b_i)=\hat b_i' [/mm] und [mm] f(b_i')=b_i [/mm] für alle i [mm] \in [/mm] I. |
Also cih habe mir gedacht dass das ja Teilmengen des Vektorraums bezw. des Dualraums sind, die linear unabhängig sind. Also gilt auch [mm] b_i(\hat b_i)=\delta_{i,j}
[/mm]
Das Problem ist allerdings dass es ja keine vollständige Basis ist. ALso habe ich mir gedacht man könnte eine Fallunterscheidung machen. Erst wenn es jeweils die dualen Vektoren sind. Dann wäre aber der Schnitt genau die Vektoren die nicht in der Teilmenge der Basis des Vektorraums liegen die wir haben, und das würde das Gegenteil bedeuten, oder mache ich da was falsch?
Der zweite Fall wäre dass die Vektoren nicht ,,zusammengehören''
Dann wären die [mm] \hat b_i [/mm] die nicht ihren dualen Vektor in der Teilmenge von h* haben im Kern und das würde zutreffen, aber die anderen die damit nichts zu tun haben, ja trotzdem nicht.
Oder kann ich wegen der Matrix annehmen das keiner der Vektoren aus B und [mm] \hat{B} [/mm] dual zueinander sind.
Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Sa 03.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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