metrischer Raum/beschr.Funkt. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Di 27.04.2010 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Es sei [mm] (X,d) = (B(M),d_\infty) [/mm] der metrische Raum der beschränkten Funktionen [mm] f: M -> \IR (\emptyset \not= M \subset \IR). [/mm]
Zeigen Sie:
Die Abbildung [mm] F:B(M) -> B(M), F(f):= sin \circ f [/mm] ist stetig. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
eigentlich muss ich zeigen, dass f stetig ist, da die Komposition von 2 stetigen Funktionen stetig ist.
Der Raum B ist unter der Sup-Norm vollständig. Kann ich darüber irgendwie auf Stetigkeit schließen ?
Danke, Susanne.
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Hiho,
> eigentlich muss ich zeigen, dass f stetig ist, da die
> Komposition von 2 stetigen Funktionen stetig ist.
öhm nein..... du hättest zwar recht, dass für alle stetigen f [mm] $sin\circ [/mm] f$ ebenfalls stetig in x (!!) ist, das sollst du aber nicht zeigen.
D.h. dann wäre die Funktion $sin(f(x))$ stetig.
Du sollst zeigen, dass F(f) stetig ist, wobei f eine Funktion ist.
D.h. du betrachtest $||F(f) - F(h)|| < [mm] \varepsilon$ [/mm] und sollst zeigen, dass das gilt für $||f-h|| < [mm] \delta$, [/mm] wobei f und h hier beschränkte, nicht notwendigerweise stetige Funktionen sind.
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Di 27.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Gono:
man kann sogar zeigen, dass F Lipschitzstetig ist:
1. Zeige mit dem Mittelwertsatz: $|sin(u)-sin(v)| [mm] \le [/mm] |u-v|$ für alle reellen u und v
2. Aus 1. folgt dann:
$||F(f)-F(g)|| [mm] \le [/mm] ||f-g||$ für alle $f,g [mm] \in [/mm] B(M)$
Mach das mal.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Di 27.04.2010 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Fred, hallo Gono,
erstmal vielen Dank für eure Hilfe !!
Jetzt habe ich doch länger "gebrütet" und bin nicht richtig weitergekommen.
> Ergänzend zu Gono:
>
> man kann sogar zeigen, dass F Lipschitzstetig ist:
>
> 1. Zeige mit dem Mittelwertsatz: [mm]|sin(u)-sin(v)| \le |u-v|[/mm]
> für alle reellen u und v
>
> 2. Aus 1. folgt dann:
>
> [mm]||F(f)-F(g)|| \le ||f-g||[/mm] für alle [mm]f,g \in B(M)[/mm]
Hier mein Versuch:
Also, sin ist max |1|.
f und g sind beschränkt. Also liefern sie reelle Werte. Für alle reellen Werte x ist sin(x) <= 1 und sin ist stetig.
Das heisst, es gibt ein [mm] \delta [/mm] mit [mm]||f-g|| < \delta[/mm], so daß [mm]||F(f) - F(g)|| = ||sin(f(x)) - sin(g(x)) ||< \varepsilon = 1 [/mm] ist.
Lipschitzstetig bedeutet, dass F stetig und kleiner einer Konstanten ist ?
Das wäre in diesem Fall 1 ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Di 27.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred, hallo Gono,
> erstmal vielen Dank für eure Hilfe !!
>
> Jetzt habe ich doch länger "gebrütet" und bin nicht
> richtig weitergekommen.
>
>
> > Ergänzend zu Gono:
> >
> > man kann sogar zeigen, dass F Lipschitzstetig ist:
> >
> > 1. Zeige mit dem Mittelwertsatz: [mm]|sin(u)-sin(v)| \le |u-v|[/mm]
> > für alle reellen u und v
> >
> > 2. Aus 1. folgt dann:
> >
> > [mm]||F(f)-F(g)|| \le ||f-g||[/mm] für alle [mm]f,g \in B(M)[/mm]
>
> Hier mein Versuch:
> Also, sin ist max |1|.
> f und g sind beschränkt. Also liefern sie reelle Werte.
> Für alle reellen Werte x ist sin(x) <= 1 und sin ist
> stetig.
> Das heisst, es gibt ein [mm]\delta[/mm] mit [mm]||f-g|| < \delta[/mm], so
> daß [mm]||F(f) - F(g)|| = ||sin(f(x)) - sin(g(x)) ||< \varepsilon = 1[/mm]
> ist.
>
> Lipschitzstetig bedeutet, dass F stetig und kleiner einer
> Konstanten ist ?
> Das wäre in diesem Fall 1 ?
Au Backe, da gehts aber drunter und drüber !
Zu 1.: Zu u und v aus [mm] \IR [/mm] gibt es nach dem Mittelwertsatz ein [mm] \xi [/mm] zwischen u und v mit:
$sin(u)-sin(v) = [mm] cos(\xi)(u-v)$
[/mm]
Es folgt:
(*) $|sin(u)-sin(v)| = [mm] |cos(\xi)|*|u-v| \le [/mm] |u-v|$
Zu 2.: Seien $ f,g [mm] \in [/mm] B(M) $. Dann ist mit (*)
$|F(f)(x)-F(g)(x)|= |sin(f(x))-sin(g(x))| [mm] \le [/mm] |f(x)-g(x)| [mm] \le [/mm] ||f-g||$ für jedes x [mm] \in \IR
[/mm]
Es folgt:
$ ||F(f)-F(g)|| [mm] \le [/mm] ||f-g|| $
F heißt Lipschitzstetig, wenn es ein L [mm] \ge [/mm] 0 gibt mit:
$ ||F(f)-F(g)|| [mm] \le [/mm] L||f-g|| $ für alle $ f,g [mm] \in [/mm] B(M) $.
Wie Du siehst, kann bei obigem F die Lipschitzkonstante L = 1 gewählt werden
FRED
>
> Danke, Susanne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Di 27.04.2010 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Fred,
vielen Dank für die tolle Erklärung !
Das muss ich wohl dringend noch mal nachlesen.
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