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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Grass |
| Aufgabe | Sei [mm] (\IR^D,d) [/mm] mit [mm] \begin{cases} d(x,y)=0 , x=y \\ d(x,y)=\|x\|_2+\|y\|_2, x \neq y \end{cases} [/mm] ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass für O [mm] \subseteq \IR^D [/mm] die folgenden zwei Aussagen äquivalent sind:
(a) O ist d-offen
(b) Entweder gilt 0 [mm] \not\in [/mm] O oder es gibt ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 mit [mm] B_d_2 (0,\varepsilon) \subseteq [/mm] O. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey. Ich habe diese Frage schon mal vorgestern gestellt. Bekam leider keine Antwort.
Habe mittlerweile die Hinrichtugn fertig, komme jetzt aber bei der Rückrichtung nicht klar.
[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
Sei O d-offen, dann gilt:
entweder [mm] 0\not\in [/mm] O oder [mm] 0\in [/mm] O
[mm] \Rightarrow [/mm] (entweder [mm] 0\not\in [/mm] O oder [mm] \exists\varepsilon [/mm] >0: [mm] B_d(0,\varepsilon) \subseteq [/mm] O), da O d-offen
[mm] \Rightarrow [/mm] (entweder [mm] 0\not\in [/mm] O oder [mm] \exists\varepsilon [/mm] >0: d(0,x) [mm] \le\varepsilon \Rightarrow x\in [/mm] O), da Def. [mm] B_d [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (entweder [mm] 0\not\in [/mm] O oder [mm] \exists\varepsilon [/mm] >0: [mm] \|0\|_2+\|x\|_2 \le\varepsilon \Rightarrow x\in [/mm] O), da für x=0 [mm] d(x,0)=d(0,0)=0=\|0\|_2+\|0\|_2=\|x\|_2+\|0\|_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (entweder [mm] 0\not\in [/mm] O oder [mm] \exists\varepsilon [/mm] >0: [mm] \|x-0\|_2 \le\varepsilon \Rightarrow x\in [/mm] O), da Def. Norm
[mm] \Rightarrow [/mm] (entweder [mm] 0\not\in [/mm] O oder [mm] \exists\varepsilon [/mm] >0: [mm] d_2(x,0) \le\varepsilon \Rightarrow x\in [/mm] O), da Def. [mm] d_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (entweder [mm] 0\not\in [/mm] O oder [mm] \exists\varepsilon [/mm] >0: [mm] B_d_2(0,\varepsilon)\subseteq [/mm] O), da Def. [mm] B_d_2
[/mm]
[mm] "\Leftarrow"
[/mm]
Sei entweder [mm] 0\not\in [/mm] O oder [mm] \exists\varepsilon [/mm] >0 mit [mm] B_d_2(0,\varepsilon)\subseteq [/mm] O.
(zu Zeigen: O d-offen [mm] \Leftrightarrow \forall x\in O\;\exists\varepsilon [/mm] >0: [mm] B_d(x,\varepsilon)\subseteq [/mm] O)
(alternativ zu zeigen: O d-offen [mm] \Leftrightarrow \IR^D\setminus [/mm] O abgeschlossen [mm] \Leftrightarrow (x_n) [/mm] Folge in [mm] \IR^D\setminus [/mm] O : [mm] x_n\to x\in \IR^D\setminus [/mm] O)
Ansatz:
entweder [mm] 0\not\in [/mm] O oder [mm] \exists\varepsilon [/mm] >0 mit [mm] B_d_2(0,\varepsilon)\subseteq [/mm] O
[mm] \Rightarrow [/mm] (entweder [mm] 0\not\in [/mm] O oder [mm] \exists\varepsilon [/mm] >0 mit [mm] d_2(0,x)\le\varepsilon\Rightarrow x\in [/mm] O), da Def. [mm] B_d_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (entweder [mm] 0\not\in [/mm] O oder [mm] \exists\varepsilon [/mm] >0 mit [mm] \|0-x\|_2\le\varepsilon\Rightarrow x\in [/mm] O), da Def. [mm] d_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (entweder [mm] 0\not\in [/mm] O oder [mm] \exists\varepsilon [/mm] >0 mit [mm] \|x\|_2\le\varepsilon\Rightarrow x\in [/mm] O)
Hier komme ich leider nicht weiter. Tut mir leid das ich die Frage nochmal stelle, aber ich brauche da wirklich Hilfe.
Gruß
Grass
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Mi 18.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Grass!
> Sei [mm](\IR^D,d)[/mm] mit [mm]\begin{cases} d(x,y)=0 , x=y \\ d(x,y)=\|x\|_2+\|y\|_2, x \neq y \end{cases}[/mm]
> ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass für O [mm]\subseteq \IR^D[/mm]
> die folgenden zwei Aussagen äquivalent sind:
> (a) O ist d-offen
> (b) Entweder gilt 0 [mm]\not\in[/mm] O oder es gibt ein [mm]\varepsilon[/mm]
> > 0 mit [mm]B_d_2 (0,\varepsilon) \subseteq[/mm] O.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hey. Ich habe diese Frage schon mal vorgestern gestellt.
> Bekam leider keine Antwort.
> Habe mittlerweile die Hinrichtugn fertig, komme jetzt aber
> bei der Rückrichtung nicht klar.
>
> [mm]"\Rightarrow"[/mm]
> Sei O d-offen, dann gilt:
> entweder [mm]0\not\in[/mm] O oder [mm]0\in[/mm] O
> [mm]\Rightarrow[/mm] (entweder [mm]0\not\in[/mm] O oder [mm]\exists\varepsilon[/mm]
> >0: [mm]B_d(0,\varepsilon) \subseteq[/mm] O), da O d-offen
> [mm]\Rightarrow[/mm] (entweder [mm]0\not\in[/mm] O oder [mm]\exists\varepsilon[/mm]
> >0: d(0,x) [mm]\le\varepsilon \Rightarrow x\in[/mm] O), da Def. [mm]B_d[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] (entweder [mm]0\not\in[/mm] O oder [mm]\exists\varepsilon[/mm]
> >0: [mm]\|0\|_2+\|x\|_2 \le\varepsilon \Rightarrow x\in[/mm] O), da
> für x=0 [mm]d(x,0)=d(0,0)=0=\|0\|_2+\|0\|_2=\|x\|_2+\|0\|_2[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] (entweder [mm]0\not\in[/mm] O oder [mm]\exists\varepsilon[/mm]
> >0: [mm]\|x-0\|_2 \le\varepsilon \Rightarrow x\in[/mm] O), da Def.
> Norm
> [mm]\Rightarrow[/mm] (entweder [mm]0\not\in[/mm] O oder [mm]\exists\varepsilon[/mm]
> >0: [mm]d_2(x,0) \le\varepsilon \Rightarrow x\in[/mm] O), da Def.
> [mm]d_2[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] (entweder [mm]0\not\in[/mm] O oder [mm]\exists\varepsilon[/mm]
> >0: [mm]B_d_2(0,\varepsilon)\subseteq[/mm] O), da Def. [mm]B_d_2[/mm]
>
>
> [mm]"\Leftarrow"[/mm]
> Sei entweder [mm]0\not\in[/mm] O oder [mm]\exists\varepsilon[/mm] >0 mit
> [mm]B_d_2(0,\varepsilon)\subseteq[/mm] O.
> (zu Zeigen: O d-offen [mm]\Leftrightarrow \forall x\in O\;\exists\varepsilon[/mm]
> >0: [mm]B_d(x,\varepsilon)\subseteq[/mm] O)
> (alternativ zu zeigen: O d-offen [mm]\Leftrightarrow \IR^D\setminus[/mm]
> O abgeschlossen [mm]\Leftrightarrow (x_n)[/mm] Folge in
> [mm]\IR^D\setminus[/mm] O : [mm]x_n\to x\in \IR^D\setminus[/mm] O)
>
> Ansatz:
> entweder [mm]0\not\in[/mm] O oder [mm]\exists\varepsilon[/mm] >0 mit
> [mm]B_d_2(0,\varepsilon)\subseteq[/mm] O
> [mm]\Rightarrow[/mm] (entweder [mm]0\not\in[/mm] O oder [mm]\exists\varepsilon[/mm]
> >0 mit [mm]d_2(0,x)\le\varepsilon\Rightarrow x\in[/mm] O), da Def.
> [mm]B_d_2[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] (entweder [mm]0\not\in[/mm] O oder [mm]\exists\varepsilon[/mm]
> >0 mit [mm]\|0-x\|_2\le\varepsilon\Rightarrow x\in[/mm] O), da Def.
> [mm]d_2[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] (entweder [mm]0\not\in[/mm] O oder [mm]\exists\varepsilon[/mm]
> >0 mit [mm]\|x\|_2\le\varepsilon\Rightarrow x\in[/mm] O)
>
>
> Hier komme ich leider nicht weiter. Tut mir leid das ich
> die Frage nochmal stelle, aber ich brauche da wirklich
> Hilfe.
Es ist doch
[mm] d(0,x) = \|0\|_2 + \|x\\<_2 =d_2(0,x) [/mm]
und daher [mm] $B_d(0,\varepsilon)=B_{d_2}(0,\varepsilon)$. [/mm]
Also hast du in der letzten Zeile schon
entweder [mm]0\not\in O [/mm] oder [mm]\exists\varepsilon>0 : B_{d_2}(0,\varepsilon)\subseteq O [/mm] .
Daraus musst du nun folgern, dass O d-offen ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Grass |
>
> Es ist doch
>
> [mm]d(0,x) = \|0\|_2 + \|x\\<_2 =d_2(0,x)[/mm]
>
> und daher [mm]B_d(0,\varepsilon)=B_{d_2}(0,\varepsilon)[/mm].
>
> Also hast du in der letzten Zeile schon
>
> entweder [mm]0\not\in O[/mm] oder [mm]\exists\varepsilon>0 : B_{d_2}(0,\varepsilon)\subseteq O[/mm]
> .
>
> Daraus musst du nun folgern, dass O d-offen ist.
Hey Rainer.
Das ist doch gerade die Ausgangssituation oder meinst du [mm] \exists\varepsilon [/mm] >0: [mm] B_d(0,\varepsilon)\subseteq [/mm] O?
Daraus dann zu folgern, dass O d-offen ist, ist gerade das Problem.
Wäre nett, wenn du da ein Tipp geben könntest!?
Viele Grüße
Grass
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:42 Do 19.05.2011 | | Autor: | meili |
Hallo Grass,
> >
> > Es ist doch
> >
> > [mm]d(0,x) = \|0\|_2 + \|x\\<_2 =d_2(0,x)[/mm]
> >
> > und daher [mm]B_d(0,\varepsilon)=B_{d_2}(0,\varepsilon)[/mm].
> >
> > Also hast du in der letzten Zeile schon
> >
> > entweder [mm]0\not\in O[/mm] oder [mm]\exists\varepsilon>0 : B_{d_2}(0,\varepsilon)\subseteq O[/mm]
> > .
> >
> > Daraus musst du nun folgern, dass O d-offen ist.
>
> Hey Rainer.
>
> Das ist doch gerade die Ausgangssituation oder meinst du
> [mm]\exists\varepsilon[/mm] >0: [mm]B_d(0,\varepsilon)\subseteq[/mm] O?
> Daraus dann zu folgern, dass O d-offen ist, ist gerade das
> Problem.
O ist dann d-offen, wenn es zu jedem x [mm] $\in$ [/mm] O [mm]\exists \varepsilon[/mm] >0: [mm]B_d(x,\varepsilon)\subseteq[/mm] O gibt.
Ist x [mm]\in B_d(0,\varepsilon)[/mm] ?
Dann ist die Bedingung auch erfüllt.
> Wäre nett, wenn du da ein Tipp geben könntest!?
>
> Viele Grüße
>
> Grass
Gruß
meili
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