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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:28 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Sharik |
| Aufgabe | | Zeige, dass die Menge aller geraden Funktionen f(-x)=f(x) als Teilmenge von C([-1,1]) ein vollständiger metrischer Raum ist. |
Na und da ich dachte, dass ich es verstanden habe wollte ich mich gleich an einer ähnlichen Aufgabe testen. WIe man sieht bin ich wieder da.
Na dann: Ein metrischer Raum heißt ja vollständig, wenn in ihm jede Cauchyfolge konvergiert.
Nun habe ich ja keine konkrete Folge und bin schon verwirrt.
Also falls ihr noch ein wenig Ausdauer habt, ich würde mich freuen
Sharik
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:43 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo Sharik,
Du tust ja gerade so, als hätten Eure Aufgabenzettel mehr als eine einzige Aufgabe 
> Zeige, dass die Menge aller geraden Funktionen f(-x)=f(x)
> als Teilmenge von C([-1,1]) ein vollständiger metrischer
> Raum ist.
> Na und da ich dachte, dass ich es verstanden habe wollte
> ich mich gleich an einer ähnlichen Aufgabe testen. WIe man
> sieht bin ich wieder da.
>
> Na dann: Ein metrischer Raum heißt ja vollständig, wenn in
> ihm jede Cauchyfolge konvergiert.
> Nun habe ich ja keine konkrete Folge und bin schon
> verwirrt.
>
> Also falls ihr noch ein wenig Ausdauer habt, ich würde mich
> freuen
Es müsste eigentlich folgendes zum Ziel führen (ich hoffe, Du hast auch noch Ausdauer  )
Es sei [mm] $(f_n)$ [/mm] eine Cauchy-Folge aus $C([-1,1])$ mit [mm] $f_n(-x)=f_n(x)$.
[/mm]
Diese konvergiert auf jeden Fall schon mal gegen ein [mm] $f\in [/mm] C([-1,1])$ (das müsste ein Satz sein aus der Vorlesung, in dem veröffentlichten Skript ist es Satz 9.28).
Zu zeigen ist nun, dass f(-x)=f(x) gilt.
Annahme: [mm] $f(-a)\not= [/mm] f(a)$ für ein [mm] $a\in[-1,1]$.
[/mm]
ObdA $f(-a)>f(a)$, d.h. [mm] $\varepsilon:=f(-a)-f(a)>0$
[/mm]
Zu diesem [mm] $\varepsilon$ [/mm] existiert ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] so, dass [mm] $\sup_{x\in[-1,1]} |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon/2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $|f_n(a)-f(a)|<\varepsilon/2$ [/mm] und [mm] $f_n(-a)-f(-a)<\varepsilon/2$
[/mm]
Nun kannst Du
[mm] $\varepsilon=|f(a)-f(-a)|\le \ldots$ [/mm] abschätzen und zu einem Widerspruch gelangen...
Siehe Gonos Antwort.
Marc
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Jetzt siehst du den Wald vor lauter Bäumen nicht. Wozu ein komplizierter Widerspruchsbeweis?
Wir wissen es gilt:
[mm]f(x) = \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)[/mm]
z.z. [mm]f(-x) = f(x)[/mm]
[mm]f(-x) = \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(-x) = \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x) = f(x)[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:15 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Sharik |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Oj jetzt bin ich wirklich verwirrt.
Ich hab natürlich auch gehofft, dass die Lösung nicht so aufwendig ist, wie Marc es beschrieben hat (muss übrigens anmerken, dass du sehr gut informiert bist ;} ).
Mir ist nur nicht ganz klar woher wir wissen, dass f_n(x) gegen f(x) strebt?
Und sonst ist das, was du geschrieben hast die Lösung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:33 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo Sharik,
> Oj jetzt bin ich wirklich verwirrt.
> Ich hab natürlich auch gehofft, dass die Lösung nicht so
> aufwendig ist, wie Marc es beschrieben hat (muss übrigens
> anmerken, dass du sehr gut informiert bist ;).
Ich surf' halt viel im Internet
> Mir ist nur nicht ganz klar woher wir wissen, dass [mm] f_n(x) [/mm]
> gegen f(x) strebt?
Das müsste in dem Satz 9.28 stehen, dort steht:
"Sind $(X,d)$ und [mm] $(Y,d_Y)$ [/mm] metrische Räume, und ist [mm] $(Y,d_Y)$ [/mm] vollständig, so ist auch [mm] $(C_b(X,Y),d_\infty)$ [/mm] ein vollständiger metrischer Raum"
[mm] ($C_b(X,Y)$:=Menge [/mm] der stetigen und beschränkten Funktionen [mm] $X\to [/mm] Y$)
In der Vorlesung habt Ihr hoffentlich diesen oder einen vergleichbaren Satz gehabt.
Für die Aufgabe kannst Du diesen Satz nun anwenden für $X,Y:=[-1,1]$. [mm] $C_b(X,Y)$ [/mm] ist damit $=C([1,1])$ (da eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall beschränkt ist).
Die Cauchy-Folge [mm] $f_n$ [/mm] von Gono konvergiert also gegen eine Funktion f in C([-1,1]). Wenn f gerade ist, dann ist die Menge der geraden Funktionen C([-1,1]) vollständig.
> Und sonst ist das, was du geschrieben hast die Lösung?
Ja!
Nacht, Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:45 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Sharik |
Ich danke euch beiden sehr, dass ihr um diese Zeit sooo geduldig mit mir wart!!!
Also dann gute Nacht und bis zum nächsten Mal
Gruß Sharik
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
, das ist tatsächlich irgendwie einfacher 