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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Frisco |
| Aufgabe | Es seien [mm] (X,d_{x}) [/mm] und [mm] (Y,d_{y}) [/mm] mertrische Räume und f:X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung. Zeigen sie dass folgende Aussagen äquivaletn sind:
i.) f ist stetig
ii.) Für jede offene Menge U [mm] \subset [/mm] Y ist [mm] f^{-1}(U) \subset [/mm] X offen
iii.) Für jede abgeschlossene Menge A [mm] \subset [/mm] Y ist [mm] f^{-1}(A) \subset [/mm] X
abgeschlossen |
Könnt ihr mir da bitte helfen komme einfach nicht weiter wie man die Äquivalenzen zeigt verstehe auch die Aufgabe nicht, vielleicht kann mir ja jemand die aufgabe erklären oder helfen sie gemeinsam zu lösen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:00 Sa 28.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es seien [mm](X,d_{x})[/mm] und [mm](Y,d_{y})[/mm] mertrische Räume und f:X
> [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung. Zeigen sie dass folgende Aussagen
> äquivaletn sind:
> i.) f ist stetig
> ii.) Für jede offene Menge U [mm]\subset[/mm] Y ist [mm]f^{-1}(U) \subset[/mm]
> X offen
> iii.) Für jede abgeschlossene Menge A [mm]\subset[/mm] Y ist
> [mm]f^{-1}(A) \subset[/mm] X
> abgeschlossen
> Könnt ihr mir da bitte helfen komme einfach nicht weiter
> wie man die Äquivalenzen zeigt verstehe auch die Aufgabe
> nicht, vielleicht kann mir ja jemand die aufgabe erklären
> oder helfen sie gemeinsam zu lösen!
Die Aussagen (ii) und (iii) sind aequivalent, weil die offenen Mengen $O$ gerade den abgeschlossenen Mengen $X [mm] \setminus [/mm] O$ entsprechen, und weil [mm] $f^{-1}(Y \setminus [/mm] O) = X [mm] \setminus f^{-1}(O)$ [/mm] ist.
Ich nehme mal an, dass ihr Stetigkeit so definiert habt, dass es zu jedem $x [mm] \in [/mm] X$ und jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ gibt mit [mm] $f(B_\delta(x)) \subseteq B_\varepsilon(f(x))$, [/mm] oder?
Nun zu [mm] (i)$\Rightarrow$(ii): [/mm] Sei $O [mm] \subseteq [/mm] Y$ offen. Es ist zu zeigen, dass [mm] $f^{-1}(O) \subseteq [/mm] X$ offen ist, dass es also zu jedem $x [mm] \in f^{-1}(O)$ [/mm] ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ gibt mit [mm] $B_\delta(x) \subseteq f^{-1}(O)$. [/mm] Diese Bedingung ist aequivalent zu [mm] $f(B_\delta(x)) \subseteq [/mm] O$. Kommst du damit weiter?
Und schliesslich [mm] (ii)$\Rightarrow$(i): [/mm] Sei $x [mm] \in [/mm] X$ und [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$. Dann ist [mm] $B_\varepsilon(f(x)) \subset [/mm] Y$ offen, und nach Voraussetzung auch [mm] $f^{-1}(B_\varepsilon(f(x)))$ [/mm] (und es ist $x [mm] \in f^{-1}(B_\varepsilon(f(x)))$). [/mm] Kannst du damit ein passendes [mm] $\delta$ [/mm] finden?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Frisco |
Danke für deine Antwort leider haben wir die stetigkeit anders definiert und zwar
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 [mm] \forall [/mm] x; [mm] d_{x}(x_{0},x)<\delta \Rightarrow d_{y}(f(x_{0}),f(x))<\varepsilon
[/mm]
geht des dann analog wie mit deiner Definition??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Sa 28.04.2007 | | Autor: | SEcki |
> geht des dann analog wie mit deiner Definition??
Das ist das gleiche. (Die Definition von dir besagt genau dasselbe)
SEcki
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