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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Do 18.05.2006 | | Autor: | andrez |
| Aufgabe | Aufgabe:
Seien (X,d) und (X`,d`) zwei metrische Räume. Zu zeigen : die Abbildung f:X->X`ist bereits dann stetig, wenn für jede kompakte Menge K aus X gilt:
f restriktiert auf K stetig. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir jemand bitte ein paar Tipps geben ?
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Do 18.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien (X,d) und (X',d') zwei metrische Räume. Zu zeigen :
> die Abbildung f:X->X'ist bereits dann stetig, wenn für jede
> kompakte Menge K aus X gilt:
> f restriktiert auf K stetig.
>
> Kann mir jemand bitte ein paar Tipps geben ?
Versuche es mit dem Folgenkriterium: $f$ ist genau dann stetig, wenn fuer alle konvergenten Folgen [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] in $X$ mit [mm] $x_n \to [/mm] x [mm] \in [/mm] X$ gilt [mm] $f(x_n) \to [/mm] f(x)$.
Um das anzuwenden zeige, dass wenn [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine in $X$ gegen $x [mm] \in [/mm] X$ konvergente Folge ist, dass dann [mm] $\{ x_n \mid n \in \IN \} \cup \{ x \} \subseteq [/mm] X$ kompakt ist. Das kannst du sowohl mit der Ueberdeckungsbedingung zeigen, als auch mit der dazu Aequivalenten Bedingung ``jede Folge in der Menge hat eine konvergente Teilfolge''.
LG Felix
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