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| Aufgabe | [mm] (M_1,d_1) [/mm] und [mm] (M_2,d_2) [/mm] metr. Räume [mm] f:M_1 \to M_2
[/mm]
Beh: f stetig <=> für jede Teilmenge X c [mm] M_1 [/mm] gilt
[mm] f(\overline{X}) [/mm] c [mm] \overline{f(X)} [/mm] |
Hi zusammen!
Bin etwas verzweifelt.. Diese Aufgabe sollte ich lösen, komme auber nicht weiter, da dachte ich, ich frage hier mal nach, vielleicht hat jemand wertvolle Tipps..
Also man muss beide Richtungen zeigen,
=> hier muss ich mit der Stetigkeit argumentieren, oder? Wie ihr seht bin ich wirklich überfordert..
Wäre sehr froh um kleine Tipps..
Dankeschön.. lg Grenzwert
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Wie war das noch mit der Stetigkeit in topologischen Räumen? Irgendwas mit Urbildern offener bzw. abgeschlossener Mengen...
Soll heißen: Ich würde mit den Definitionen als Startpunkt beginnen und sehen, wie weit man kommt.
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Hallo Grenzwert,
Die Tatsache,dass du metrische Raeume zur Verfuegung hast, bedeutet, dass du das [mm] $\epsilon-\delta$-Kriterium [/mm] der Stetigkeit benutzen kannst. Erinnere dich daran, dass eine Folge [mm] $x_n\in M_1$ [/mm] gegen ein [mm] $x\in M_1$ [/mm] konvergiert, gdw. [mm] $d_1(x_n,x)\to [/mm] 0$, fuer [mm] $n\to\infty$ [/mm] (analog fuer [mm] $M_2$). [/mm] im Uebrigen sind die Metriken zu ihrer eigenen Topologie stetige Funktionen auf den Produktraeumen [mm] $M_1\times M_2$ [/mm] (bzw. fuer [mm] $M_2\times M_2$).
[/mm]
"=>" (Aus Stetigkeit folgt die angegebene Inklusion) Betrachte eine Folge [mm] $x_n$ [/mm] in $X$, die konvergiert. Wegen der Stetigkeit von $f$ und der Konvergenz von [mm] $x_n$ [/mm] darfst du Limesbildung und Abbildung vertauschen. Was bedeutet das also? Achtung! Falls [mm] $X=\emptyset$, [/mm] ist nichts zu zeigen! Warum?
"<="(Aus der inklusion folgt Stetigkeit von $f$) Da musst du ein bisschen mehr tun. Ueberlege dir Folgendes: Gegeben ein offenes [mm] $U\subset M_2$. [/mm] Wie zeigst du, dass [mm] $f^{-1}(U)\subset M_1$ [/mm] offen ist? Indem du um jeden Punkt [mm] $p\in f^{-1}U$ [/mm] eine Kugel $B(p,r)$ um $p$ mit Radius $r$ legen kannst, der komplett in [mm] $f^{-1}U$ [/mm] liegt. Das waere der Fall, wenn [mm] $f(B(p,r))\subset [/mm] U$. Ich wuerde hierfuer einen Beweis durch Widerspruch fuehren...Ueberlege dir zuersteinmal - damit die Inklusion ins Spiel kommt - , dass das Komplement einer abgeschlossenen Menge $A$ immer offen ist.
Viel Erfolg!
LG Kornfeld
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