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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Di 26.10.2010 | | Autor: | nueppi |
| Aufgabe | Es sei T die Standardtopologie auf [mm] \IR. [/mm] Zeigen Sie,dass die folgende Funktion [mm] \mathcal{A}T [/mm] - [mm] \mathcal{A}T- [/mm] messbar ist.
g(x) = sin [mm] (\wurzel{x}) [/mm] |
Hallo alle zusammen,
man muss ja zeigen, dass für jedes a mit a= g^-1(b) mit b [mm] \in [/mm] AT ,a [mm] \in [/mm] AT gilt.
Ich bin davon ausgegangen, dass AT die Borel- sigma- Algebra ist, also Menge die alle offenen und abgeschlossen Mengen aus [mm] \IR [/mm] enthält. Da auch jede Vereinigung und jedes Komplement eines Elementes aus AT wieder in der Menge ist, ist doch auch jede Zahl (a oder b) aus [mm] \IR [/mm] in AT wieder enthalten oder nicht? und wenn das der Fall ist, dann bin ich ja eigentlich schon fertig..aber das kann ja nicht so einfach sein. Könnt ihr mir sagen was mein Fehler ist.
Danke :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:12 Mi 27.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Machen wirs zunächst allgemein:
Sei [mm] \mathcal{A} [/mm] eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra auf X und [mm] \mathcal{B} [/mm] eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra auf Y und $f:X [mm] \to [/mm] Y$ eine Abb..
Weier sei [mm] \mathcal{E} [/mm] eine Teilmenge der Potenzmenge von Y mit [mm] $\mathcal{B} [/mm] = [mm] \sigma(\mathcal{E} [/mm] ).$
Dann gilt (das hattet Ihr sicher):
(*) f ist [mm] \mathcal{A} [/mm] - [mm] \mathcal{B} [/mm] - messbar [mm] \gdw f^{-1}(E) \in \mathcal{A} [/mm] für jedes E [mm] \in \mathcal{E} [/mm]
So, ist nun X = Y = [mm] \IR [/mm] und [mm] \mathcal{A}=\mathcal{B} [/mm] = Borelsch [mm] \sigma [/mm] - Algebra auf [mm] \IR, [/mm] so wähle [mm] \mathcal{E} [/mm] = System der in [mm] \IR [/mm] offenen Mengen.
Mit (*) siehst Du dann sofort: ist $f:X [mm] \to [/mm] Y$ stetig, so ist f messbar.
FRED
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