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| Aufgabe | | Wie beweist man eine Aussage [mm] $A(a_{1}, a_{2}, \cdots [/mm] , [mm] a_{n})$, [/mm] mit [mm] $a_{1}, a_{2}, \cdots [/mm] , [mm] a_{n} \in \IN$, [/mm] mittels vollständiger Induktion? |
Aussagen der Form [mm] $A(a_{1})$ [/mm] sind trivial.
Auch Aussagen der Form [mm] $A(a_{1}, a_{2})$ [/mm] gehen noch.
Man zeigt:
1) $A(0,0)$
2) [mm] $A(a_{1}, a_{2}) \Rightarrow A(a_{1} [/mm] + 1, [mm] a_{2}) \forall a_{1}, a_{2} \in \IN [/mm] $
3) [mm] $A(a_{1}, a_{2}) \Rightarrow A(a_{1}, a_{2} [/mm] + 1) [mm] \forall a_{1}, a_{2} \in \IN [/mm] $
Wie geht man aber nun bei endlich vielen natürliche Zahlen vor?
Ich vermute mal:
1) $A(0, 0, [mm] \cdots, [/mm] 0)$
Muss man jetzt alle Variablen festhalten bis auf eine Einzige und über diese dann eine Induktion bilden? Also insgesamt müsste man dann doch $n$-verschiedene Induktionen zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 So 20.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo SinistresFlagellum!
> Wie beweist man eine Aussage [mm]A(a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{n})[/mm],
> mit [mm]a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{n} \in \IN[/mm], mittels
> vollständiger Induktion?
Da gibt es verschiedene denkbare Methoden. Was jeweils sinnvoll ist, hängt von A ab. Denkst du an eine bestimmte Aussage(form) [mm] $A(a_1,\ldots,a_n)$?
[/mm]
> Aussagen der Form [mm]A(a_{1})[/mm] sind trivial.
>
> Auch Aussagen der Form [mm]A(a_{1}, a_{2})[/mm] gehen noch.
> Man zeigt:
>
> 1) [mm]A(0,0)[/mm]
> 2) [mm]A(a_{1}, a_{2}) \Rightarrow A(a_{1} + 1, a_{2}) \forall a_{1}, a_{2} \in \IN[/mm]
>
> 3) [mm]A(a_{1}, a_{2}) \Rightarrow A(a_{1}, a_{2} + 1) \forall a_{1}, a_{2} \in \IN[/mm]
Ja, das ist eine korrekte Methode. Wenn man 1), 2) und 3) nachgewiesen hat, folgt [mm] $A(a_1,a_2)$ [/mm] für alle natürlichen Zahlen [mm] $a_1,a_2$.
[/mm]
Weitere (ähnliche aber nicht völlig identische) denkbare Methoden sind z.B.:
(ii) Variante deiner Idee:
Es genügt, bei 2) nur [mm] $a_2=0$ [/mm] anstelle aller natürlichen Zahlen [mm] $a_2$ [/mm] zu betrachten.
(iii) Induktion nach der Summe [mm] $a_1+a_2$:
[/mm]
Zeige per Induktion nach s, dass für alle natürlichen Zahlen s gilt: Für alle natürlichen Zahlen [mm] $a_1,a_2$ [/mm] mit [mm] $a_1+a_2=s$ [/mm] gilt [mm] $A(a_1,a_2)$.
[/mm]
(iv) Induktion nach einer der Variablen:
Zeige per Induktion nach [mm] $a_1$, [/mm] dass für alle natürlichen Zahlen [mm] $a_1$ [/mm] gilt: Für alle natürlichen Zahlen [mm] $a_2$ [/mm] gilt [mm] $A(a_1,a_2)$.
[/mm]
Gegebenenfalls ist im Induktionsanfang und/oder im Induktionsschritt der Induktion nach [mm] $a_1$ [/mm] jeweils eine Induktion nach [mm] $a_2$ [/mm] denkbar.
> Wie geht man aber nun bei endlich vielen natürliche Zahlen
> vor?
>
> Ich vermute mal:
> 1) [mm]A(0, 0, \cdots, 0)[/mm]
>
> Muss man jetzt alle Variablen festhalten bis auf eine
> Einzige und über diese dann eine Induktion bilden? Also
> insgesamt müsste man dann doch [mm]n[/mm]-verschiedene Induktionen
> zeigen?
Alle vier Methoden lassen sich auf mehr als zwei Variablen verallgemeinern.
Je größer n ist, desto mehr ist typischerweise zu zeigen; bei der naheliegenden Verallgemeinerung deiner Idee hat man in der Tat n+1 viele Einzelaussagen zu verifizieren.
Aber wie gesagt: Ob dieses Vorgehen im Einzelfall überhaupt sinnvoll ist, hängt von A ab.
Viele Grüße
Tobias
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