maximaler Flächeninhalt eines < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ein Sportplatz mit 400 m Bahn hat die Form eines Rechtecks mit zwei angesetzten Halbkreisen. Für das Fussballfeld schreibt der DFB eine Mindestlänge von 90m und eine Höchstlänge von 120 m vor. Welche Länge muss das Spielfeld haben, damit sein Flächeninhalt maximal wird. |
Ich weiß das diese Aufgabe bestimmt nicht so schwer ist, aber ich steh echt auf der Leitung, vielleicht kann mir jemand helfen.
ich habe versucht über den Umfang der Bahn auf die länge der querseite zu kommen, indem ich versucht hab den kreisradius etc raus zu bekommen, aber nichts ging.
Umfang= 400m² -Fläche des Rechtecks( 2ab) - Kreisfläche
Vielleicht könnte jemand so nett sein und mir einen kleinen Tipp für den Ansatz geben, ich komm einfach nicht drauf wo ich anfangen soll. Denke bestimmt viel zu kompliziert.
Vielen Dank!!!
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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ich danke dir erstmal für deine bemühungen @roadrunner
$ U \ = \ 2a + 2 [mm] \cdot{} \bruch{\pi \cdot{} b}{2} [/mm] \ = \ 2a + [mm] \pi \cdot{} [/mm] b \ = \ 400 \ m $
Habe dort diese Formel gefunden, di emir auch ein bisschen weiter geholfen hat. Tut mir auch sehr leid das ich das vorher nicht gesehen hatte, aber finde mich hiern noch nicht so zurecht.
also: mit der Formel kann ich mir aussrechen, dass:
U= 2*90+pi*b=400 aufgelöst ergibt das meine
Seitenlänge b in dem Fall 70,028m lang ist und wenn ich das mit meiner Seitenlänge a multipüiziere ergibt sich eine
Fläche von 6302,52 m² ( bei mir)
das ganze habe ich jetzt auch mit 100 m Seitenlänge (a)-->6366,12m²
und 120 m-->6116,6m²
gemacht
demnach weiß ich ( wenn ich richtig liege), dass ich den maximalen Flächeninhalt irgendwo um die 100 Meter erreiche.
Und wie geh ich jetzt weiter vor? Muss ich das jetzt wirklich ausprobieren bis ich auf dem richtigen ergebnis bin oder gibt es da vielleicht noch einen anderen Weg?
Ich kann eine Tabelle machen, so wie bei Monotonieverhalten um zu sehen, wann der Wert nicht mehr steigt, sondern anfängt zu fallen....
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Hallo LilaMilkaKuh!
Du musst nun die Hauptbedingung und die entsprechende Zielfunktion für den Flächeninhalt des Spielfeldes (= Rechteck) aufstellen:
[mm] $$A_{\text{Rechteck}} [/mm] \ = \ A(a,b) \ = \ a*b$$
Forme nun die Nebedingung mit der Umfangsformel [mm] $2*a+\pi*b [/mm] \ = \ 400$ nach $b \ = \ ...$ um und setze in die o.g. Flächenformel ein.
Damit hast Du eine Funktion $A(a)_$ , die nur noch von einer Variablen abhängig ist. Für diese Funktion $A(a) \ = \ ...$ nun eine Extremwertberechnung durchführen (Nullstellen der 1. Ableitung usw.).
Durch die Vorgabe des DFB mit den Grenzabmessungen musst Du anschließend noch die Ränder [mm] $a_1 [/mm] \ = \ 90 \ [mm] \text{m}$ [/mm] bzw. [mm] $a_2 [/mm] \ = \ 120 \ [mm] \text{m}$ [/mm] überprüfen.
Gruß vom
Roadrunner
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