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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Mo 15.10.2007 | | Autor: | tAtey |
| Aufgabe | | Bestimmen sie die Koordinaten der Eckpunkte A und B des gleichschenkligen Dreiecks mit dem größten Flächeninhalt, dessen Spitze C im Koordinatenursprung liegt und dessen andere Eckpunkte auf dem Graphen der Funktion f liegen! |
Anmerkung: f(x) = [mm] \bruch{3}{x²+1}
[/mm]
Wie ich dann irgendwann gemerkt habe, handelt es sich hier um eine Extremwertaufgabe .. war noch nie so mein Thema. :)
Allein schon das wört "größten Flächeninhalt" hat mich zum Schaudern gebracht. Nichts desto trotz muss die Aufgabe gemacht werden. ^^
Hauptbedingung ist also der Flächeninhalt.
Jetzt hakt's schon bei der Nebenbedingung? Kann mir jemand hier weiterhelfen?
Wie gehe ich vor, nachdem ich die Nebenbedingung habe? Setze ich die in die Hauptbedingung? Und dann?
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Hallo tAtey,
> Bestimmen sie die Koordinaten der Eckpunkte A und B des
> gleichschenkligen Dreiecks mit dem größten Flächeninhalt,
> dessen Spitze C im Koordinatenursprung liegt und dessen
> andere Eckpunkte auf dem Graphen der Funktion f liegen!
> Anmerkung: f(x) = [mm]\bruch{3}{x²+1}[/mm]
Die Seiten dieses Dreiecks sollten durch die Funktionenscharen [mm]\beta_a(x):=ax[/mm] und [mm]\gamma:=-\beta[/mm] beschrieben werden können. Angenommen, du wüßtest nun ein [mm]\xi[/mm] mit [mm]f\left(\xi\right)\stackrel{!}{=}\beta_a\left(\xi\right)[/mm]. Dann wäre die Länge der Grundfläche des Dreiecks [mm]2\xi[/mm]. Und die Länge einer der Schenkel des Dreiecks wäre gemäß Pythagoras: [mm]\delta:=\sqrt{\xi^2 + \beta_a^2\left(\xi\right)}[/mm]. Dann gilt für die Flächenfunktion des Dreiecks, die, so vermute ich, nur von der Steigung a von [mm]\beta_a[/mm] abhängig wäre:
[mm]F(a)=\frac{1}{2}\cdot{2\xi}\cdot{\sqrt{\delta^2-\xi^2}}=\xi\cdot{\sqrt{\beta_a^2\left(\xi\right)}}=\xi\cdot{\beta_a\left(\xi\right)}[/mm]
Bleibt noch die Frage: Wie findet man [mm]\xi[/mm]? Der Ansatz steht ja oben (siehe Gl. mit !) und eine exakte Lösung für die Nullstellen eines Polynoms 3ten Grades findet man durch die ![[]](/images/popup.gif) Formeln von Cardano. Dort müßtest du dann den Fall [mm]D>0[/mm] rausbekommen. Nachdem du [mm]F(a)[/mm] gefunden hast, machst du eine Extremwertbetrachtung von [mm]F(a)[/mm]. Sobald du damit ein konkretes [mm]a^{\*}[/mm] findest, wüßtest du aus den obigen Gleichungen auch die konkreten Koordinaten der Punkte [mm]\left(\pm\xi^{\*},\nu\right)[/mm] mit [mm]\nu := \beta_a\left(\xi^{\*}\right)[/mm].
Viele Grüße
Karl
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Hallo tAtey,
> Bestimmen sie die Koordinaten der Eckpunkte A und B des
> gleichschenkligen Dreiecks mit dem größten Flächeninhalt,
> dessen Spitze C im Koordinatenursprung liegt und dessen
> andere Eckpunkte auf dem Graphen der Funktion f liegen!
> Anmerkung: f(x) = [mm]\bruch{3}{x²+1}[/mm]
Hast du dir die Funktion und mögliche Punkte darauf schon mal gezeichnet?
[Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Wie ich dann irgendwann gemerkt habe, handelt es sich hier
> um eine Extremwertaufgabe .. war noch nie so mein Thema. :)
> Allein schon das wört "größten Flächeninhalt" hat mich zum
> Schaudern gebracht. Nichts desto trotz muss die Aufgabe
> gemacht werden. ^^
>
> Hauptbedingung ist also der Flächeninhalt. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Jetzt hakt's schon bei der Nebenbedingung? Kann mir jemand
> hier weiterhelfen?
Die Eckpunkte liegen auf dem Graphen.
Die Höhe des Dreiecks ist leicht zu beschreiben, wenn du das Bild betrachtest.
>
> Wie gehe ich vor, nachdem ich die Nebenbedingung habe?
> Setze ich die in die Hauptbedingung? Und dann?
Du löst die Nebenbedingung nach einer Variablen auf und setzt das Ergebnis in die Hauptbedingung ein:
Ergebnis: eine Funktion, deren Extremstellen du ermitteln musst.
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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