maximale Querschnittsfläche < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Do 24.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Ein Tunnel soll die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis erhalten.Wie groß ist die Querschnittsfläche maximal,wenn der Umfang des Tunnels 20 m beträgt? |
Hallo^^
Ich will die Aufgabe hier rechnen,weiß aber leider nicht was die Querschnittsfläche beim Tunnel ist???
Kann mir das bitte jemand sagen?
Hab ein Bild dazu gefügt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
mache zunächst eine Skizze, das Rechteck besteht aus drei Seiten, an der "offenen" Seite des Rechtecks zeichnest du den Halbkreis dran,
der Umfang wird gebildet durch: [mm] 20m=a+a+b+\bruch{1}{2}u_K_r_e_i_s
[/mm]
jetzt überlege dir wie du den Durchmesser des Kreises ausdrücken kannst mit einer Rechteckseite
die Fläche setzt sich zusammen aus A = [mm] A_R_e_c_h_t_e_c_k [/mm] + [mm] A_H_a_l_b_k_r_e_i_s
[/mm]
stelle dazu mal die Formeln auf und melde dich wieder,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Do 24.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
okay,der Durchmesser vom Kreis wäre dann [mm] 20m-2a-0.5u^{Kreis}=d^{Kreis} [/mm] bzw. b.
Ich hatte mir das schon aufgezeichnet,aber irgendwie hat sich das Bild eben nicht hochgeladen,hier nochmal ^^
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Do 24.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Fläche ist ja:
[mm] A(a,b)=\underbrace{a*b}_{Reckteck}+\underbrace{2\pi*b²}_{Halbkreis}
[/mm]
(Der Halbkreis: [mm] A_{Kreis}=\pi*r²=\pi*(2r)²=4\pi*r²\Rightarrow A_{Halbkreis}=\bruch{1}{2}*4\pi*d²=2\pi*d²)
[/mm]
Jetzt hast du ja noch zwei Variablen dabei, a und b.
Aber der Umfang u der Figur soll 20m sein.
Also [mm] u(a,b)=\underbrace{2a+b}_{oben offenes Rechteck}+\underbrace{2\pi*b}_{Halbkreis mit Durchmesser b}=20
[/mm]
[mm] \gdw a=\bruch{20-b-2\pi*b}{2}=\bruch{20-(b+2\pi*b)}{2}=\bruch{20-(1+2\pi)b}{2}=10-\bruch{1+2\pi}{2}*b
[/mm]
Das in A(a,b) einsetzen:
[mm] A(a,b)=a*b+2\pi*b²
[/mm]
[mm] =(10-\bruch{1+2\pi}{2}*b)*b+2\pi*b²
[/mm]
[mm] =10b-\bruch{1+2\pi}{2}b²+2\pi*b²
[/mm]
[mm] =10b-\bruch{1+2\pi}{2}b²+\bruch{4\pi}{2}*b²
[/mm]
[mm] =10b+\bruch{4\pi}{2}*b²-\bruch{1+2\pi}{2}b²
[/mm]
[mm] =10b+\bruch{4\pi-(1-2\pi)}{2}*b²
[/mm]
[mm] =10b+\bruch{6\pi-1}{2}*b²
[/mm]
Und hiervon suchst du jetzt das Maximum.
Also suchst du jetzt mit dem üblichen Verfahren den Hochpunkt (Ableiten....
Marius
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 14:06 Do 24.04.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, Marius, der Term [mm] 2\pi b^{2} [/mm] stimmt so nicht, der Kreis hat den Durchmesser b, also Kreis [mm] A=\bruch{1}{4}\pi b^{2}, [/mm] für Halbkreis also [mm] \bruch{1}{8}\pi b^{2}
[/mm]
Steffi
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft) | | Datum: | 14:09 Do 24.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo, Marius, der Term [mm]2\pi b^{2}[/mm] stimmt so nicht, der
> Kreis hat den Durchmesser b, also Kreis [mm]A=\bruch{1}{4}\pi b^{2},[/mm]
> für Halbkreis also [mm]\bruch{1}{8}\pi b^{2}[/mm]
> Steffi
Hallo Steffi.
Hast natürlich recht
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Do 24.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
danke^^
Hab aber noch en Frage,wie kommst du drauf,dass [mm] \pi*r^{2}=\pi*(2r)^{2}=4\pi*r^{2} [/mm] ist ????
Das versteh ich nicht so ganz.
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Hallo, lese bitte mal die Korrekturmitteilung von mir, Marius hatte einen Fehler, es gilt:
[mm] A=ab+\bruch{1}{8} \pi b^{2}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Do 24.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
stimmt.
Hab trotzdem mal noch ne Frage.Marius hat ja geschrieben
20=2a+b + [mm] 2*\pi*b
[/mm]
Ich versteh nicht von welcher Formel diese [mm] 2*\pi*b [/mm] abgeleitet wurden oder woher kommen die????
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Do 24.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> stimmt.
> Hab trotzdem mal noch ne Frage.Marius hat ja geschrieben
>
> 20=2a+b + [mm]2*\pi*b[/mm]
>
> Ich versteh nicht von welcher Formel diese [mm]2*\pi*b[/mm]
> abgeleitet wurden oder woher kommen die????
>
Das ist mal wieder mein Fehler:
[mm] U_{Figur}=u_{offenes RE}+u_{Halbkreis}
[/mm]
Beim offenen Rechteck gilt: U=2a+b
Beim Vollkreis (Durchmesser =b, Radius=0,5b) gilt: [mm] u=2\pi(0,5b)=\pi*b
[/mm]
Also gilt für den Halbkreis: [mm] u=\bruch{\pi*b}{2}
[/mm]
Somit gilt für den Gesamtumfang:
[mm] u=2a+b+\bruch{\pi*b}{2}
[/mm]
mit U=20 (Vorgabe) gilt:
[mm] 20=2a+b+\bruch{\pi*b}{2}
[/mm]
[mm] \gdw 2a+(1+\bruch{\pi}{2})*b=20
[/mm]
[mm] \gdw a=\bruch{20-(1+\bruch{\pi}{2})*b)}{2}
[/mm]
Also: [mm] A=a*b+\bruch{\pi*b²}{8}
[/mm]
Eingesetzt:
[mm] A=\bruch{20-(1+\bruch{\pi*b}{2})*b)}{2}*b+\bruch{\pi*b²}{8}
[/mm]
[mm] =\bruch{4(20b-(1+\bruch{\pi}{2})*b²))}{8}+\bruch{\pi*b²}{8}
[/mm]
[mm] =\bruch{80b-(4+2\pi)*b²))}{8}+\bruch{\pi*b²}{8}
[/mm]
[mm] =\bruch{80b-(4+2\pi)*b²))+\pi*b²}{8}
[/mm]
[mm] =\bruch{80b-4b²-2\pi*b²+\pi*b²}{8}
[/mm]
[mm] =\bruch{80b-4b²-\pi*b²+\pi*b²}{8}
[/mm]
[mm] =\bruch{80b}{8}-\bruch{(4+\pi)*b²}{8}
[/mm]
[mm] =10b-\bruch{(4+\pi)}{8}b²
[/mm]
Ich hoffe, ich habe mich nicht noch verrechnet.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Do 24.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
okay,
zu deiner Rechnung noch ne Frage.Beim Einsetzen hast du im 2.Schritt 4*(20b...usw.) geschrieben,woher weiß man dass man das jetzt *4 nehmen muss?????
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Do 24.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Da hat M.Rex durch Erweitern den vorderen Bruch auf den Hauptnenner $8_$ gebracht. Und es gilt ja: [mm] $2*\red{4} [/mm] \ = \ 8$ Ups, Tippfehler ....
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Do 24.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Aber da steht ja noch in der selben Zeile [mm] b^{2},warum [/mm] multipliziert man das nicht mit 4????
Und ist 2*4=4 ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Do 24.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Dieser Bruch hat doch bereits den Hauptnenner 8 ...
Und bei der obigen "Rechnung" hatte ich mich vertippt. Selbstverständlich gilt: $2*4 \ = \ 8$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Do 24.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Nein ich meine den anderen Bruch hier nochmal [mm] \bruch{80b-(4+2\pi)*b^{2}))}{8}
[/mm]
bzw.noch ein Schritt davor,da wurde ja alles mit 4 multipliziert,aber nicht das [mm] b^{2},warum???
[/mm]
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Hallo, schauen wir uns den Zähler an
[mm] 4(20b-(1+\bruch{\pi}{2})b^{2})
[/mm]
[mm] 4(20b-b^{2}-\bruch{\pi}{2}b^{2})
[/mm]
[mm] 80b-4b^{2}-2 \pi b^{2}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Do 24.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hab ma noch ne Frage,was ist denn die Ableitung von [mm] \pi???
[/mm]
Also wenn man das als ganz normale Zahl sieht 3,14....dann ist die Ableitung ja 0,aber stimmt das denn so???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Do 24.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Du hast Recht: [mm] $\pi$ [/mm] als Konstante ergibt beim Ableiten $0_$ . Allerdings bleibt [mm] $\pi$ [/mm] als konstanter Faktor gemäß  Faktorregel erhalten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Do 24.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
dann bilde ich doch die Ableitung von [mm] 10b-\bruch{4+\pi}{8}*b^{2}
[/mm]
Ableitung: [mm] 10-\bruch{\pi}{8}*2b=0 [/mm]
Ist die Ableitung so richtig???
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Hallo, leider ist deine Ableitung so nicht korrekt
[mm] A(b)=10b-(\bruch{4+\pi}{8})b^{2}
[/mm]
[mm] A'(b)=10-2(\bruch{4+\pi}{8})b
[/mm]
[mm] A'(b)=10-(\bruch{8+2\pi}{8})b
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Do 24.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
okay,wenn ich die erste Ableitung jetzt =0 setze krieg ich für b=5.6 raus.
das b hab ich dann in die Formel für den Umfang,also [mm] 20=2a+b+\bruch{\pi*b}{2} [/mm] eingesetzt und hab für a=2.8 raus.
Dann setz ich die beiden Werte in [mm] A(a,b)=a*b+\bruch{1}{8}\pi*b^{2} [/mm] ein und krieg für die maximale Querschnittfläche 27.99 [mm] m^{2} [/mm] raus.
Ist das jetzt richtig so?????
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Hallo, Glückwunsch, das sind die Lösungen, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Do 24.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
danke steffi,hast mir echt weitergeholfen =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Do 24.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
hallo^^
zu der Rechnung hier hab ich doch noch mal ne Frage.
da steht ja
[mm] \bruch{80b-4b^{2}- [red] 2 [/red] \pi*b^{2}+ \pi*b^{2}}{8}
[/mm]
und danach steht ja
[mm] \bruch{80b-4b^{2}-\pi*b^{2}+ \pi*b^{2}}{8}
[/mm]
wo ist denn die 2 vor dem [mm] \pi [/mm] hin???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Do 24.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ah ich habs mir nochmal angeschaut und habs doch verstanden ^^
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Hallo, die hat Marius ganz einfach vergessen, Tippfehler,
[mm] \bruch{80b-4b^{2}-2\pi b^{2}+\pi b^{2}}{8}
[/mm]
[mm] \bruch{80b-4b^{2}-\pi b^{2}}{8}
[/mm]
[mm] \bruch{80b}{8}-\bruch{(4b^{2}+\pi b^{2})}{8}
[/mm]
bedenke, steht vor der Klammer ein minus, drehen sich in der Klammer die Vorzeichen um
[mm] 10b-\bruch{(4+\pi )b^{2}}{8}
[/mm]
[mm] 10b-\bruch{(4+\pi )}{8}b^{2}
[/mm]
Steffi
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