max inhaltsmaßzahl 2graphen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:32 Do 20.09.2007 | | Autor: | Johnnie |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie a so, dass die Inhaltsmaßzahl der von den Graphen [mm] G_f [/mm] und [mm] G_g [/mm] eingeschlossenen Fläche maximal wird, wobei [mm] f=-\bruch{1}{a}x^{2}+a [/mm] und [mm] g(x)=-ax^{2}+a^{3} [/mm] und 0<a<1. |
Bitte um einen nachvollziehbaren Ansatz wie man an diese Aufgabe "rangehen" kann, stehe momentan ziemlich im Dunkeln, kann weder Nebenbediungen bestimmen oder die Schnittpunkte ausrechnen ...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Do 20.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Johnnie,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Zunächst einmal benötigen wir als Integrationsgrenzen die Schnittstellen dieser beiden Funktionskurven. Diese erhalten wir, indem wir die beiden Funktionsvorschriften gleichsetzen:
[mm] $$-\bruch{1}{a}*x^2+a [/mm] \ = \ [mm] -a*x^2+a^3$$
[/mm]
Bringen wir nun alle $x_$-Terme auf die linke Seite und den Rest auf die rechte Seite:
[mm] $$a*x^2-\bruch{1}{a}*x^2 [/mm] \ = \ [mm] a^3-a$$
[/mm]
Nun mit $a_$ multiplizieren und ausklammern:
[mm] $$a^2*x^2-x^2 [/mm] \ = \ [mm] a^4-a^2$$
[/mm]
[mm] $$\left(a^2-1\right)*x^2 [/mm] \ = \ [mm] a^2*\left(a^2-1\right)$$
[/mm]
Schaffst Du die nächsten Schritte nun selber?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Do 20.09.2007 | | Autor: | Johnnie |
[mm] -\bruch{1}{a}*x^{2}*a=-x^{2} [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 Do 20.09.2007 | | Autor: | Johnnie |
... bin heut net ganz bei sache ...
hat sich erledigt
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Do 20.09.2007 | | Autor: | Johnnie |
x=-a v x=a ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Do 20.09.2007 | | Autor: | Blech |
> x=-a v x=a ?
Genau, und jetzt integrierst Du |f-g| von -a bis a.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Do 20.09.2007 | | Autor: | Johnnie |
[mm] |\integral_{-a}^{a}{f(x)=(- \bruch{1}{4}x^{2}+a)-(-ax^{2}+ax^{3})dx}|
[/mm]
[mm] |[-\bruch{1}{12}x^{3}+a+a\bruch{1}{3}x^{3}-a^{3}]|
[/mm]
|F(a)-F(-a)|
[mm] |-\bruch{1}{12}a^{3}+a+a\bruch{1}{3}a^{3}-a^{3}| [/mm] ...?
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Hallo Johnny,
du hast dich da irgendwie verhaspelt...
Die erste Funktion war doch [mm] $f(x)=-\frac{1}{\red{a}}x^2+a$
[/mm]
Also [mm] $\int\limits_{-a}^{a}\left(f(x)-g(x)\right)\,dx=\int\limits_{-a}^{a}\left(-\frac{1}{a}x^2+a+ax^2-a^3\right)\,dx$
[/mm]
Das nun summandenweise integrieren...
[mm] $=\left[-\frac{1}{3a}x^3+ax+\frac{1}{3}ax^3-a^3x\right]_{-a}^{a}$
[/mm]
Nun die Grenzen einsetzen....
Kontrolle: [mm] $....=\frac{4}{3}a^2\left(1-a^2\right)$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Do 20.09.2007 | | Autor: | Johnnie |
gut, das habe ich soweit alles verstanden, danke!
aber wie bestimme ich nun den maximalen extremwert der inhaltsmaßzahl?
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Hi nochmal,
du hast doch nun eine von $a$ abhängige Funktion für den Flächeninhalt zwischen den beiden Scharen:
[mm] $A(a)=\frac{4}{3}a^2(1-a^2)$
[/mm]
Die musst du nun mit den üblichen Mitteln auf Extrema untersuchen.
Gesucht ist das Maximum von $A$...
Gruß
schachuzipus
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