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Forum "Schul-Analysis" - max. Volumen b. Pyramide
max. Volumen b. Pyramide < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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max. Volumen b. Pyramide: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:48 Mo 29.08.2005
Autor: dark_toaster

Einen guten Abend and das Forum,

komm im Moment an dieser Aufgabe nich weiter. Ehrlich gesagt weiß ich gar nich wie ich anfangen zu rechnen soll.

geg:  Mantel einer Pyramide mit 4 gleich langen Seiten

173,205 m²

ges: Das Größtmöglichste Volumen welches man mit diesem Mantel erreichen kann.


Hab noch keine Idee wie ich diese Aufgabe anfangen soll. Wär nett wenn mir jemand hierbei helfen könnte.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
max. Volumen b. Pyramide: Ansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:11 Mo 29.08.2005
Autor: Bastiane

Hallo und guten Abend auch. ;-)

> Einen guten Abend and das Forum,
>  
> komm im Moment an dieser Aufgabe nich weiter. Ehrlich
> gesagt weiß ich gar nich wie ich anfangen zu rechnen soll.
>  
> geg:  Mantel einer Pyramide mit 4 gleich langen Seiten
>  
> 173,205 m²
>  
> ges: Das Größtmöglichste Volumen welches man mit diesem
> Mantel erreichen kann.
>  
>
> Hab noch keine Idee wie ich diese Aufgabe anfangen soll.
> Wär nett wenn mir jemand hierbei helfen könnte.

Bin schon zu müde, um mich näher mit dieser Aufgabe zu beschäftigen. Aber das Prinzip ist folgendes:
Du benötigst die Formel für den Mantel einer solchen Pyramide, das setzt du dann gleich 173,205 [mm] m^2. [/mm] Dann benötigst du noch die Formel für das Volumen einer Pyramide. Und da kommen dann die gleichen Variablen vor, sodass du aus den zwei Gleichungen eine Gleichung machen kannst, die dann von einer Variablen weniger abhängt. Und diese eine "Gleichung" ist deine Funktion, für die du dann ein Maximum, also einen Hochpunkt berechnen musst. Also: Ableitung berechnen, gleich Null setzen, zweite Ableitung berechnen und so.
Hilft dir das schon mal ein bisschen?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
        
Bezug
max. Volumen b. Pyramide: Zeichnung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:32 Mo 29.08.2005
Autor: leduart

Hallo

> geg:  Mantel einer Pyramide mit 4 gleich langen Seiten
>  
> 173,205 m²

4 gleichlange Seiten heisst wohl Grund Fläche Quadrat  nenn die Höhe H dann ist [mm] V=a^{2}*H/3 [/mm]
Mantel aus 4 Dreiecken Fläche A=4*a*h/2  ( h =Höhe im Dreick) da A gegeben ist kann man daraus bei gegebenem a h ausrechneb und umgekehrt.
Jetzt einen Schnitt durch die Spitze der Pyramide zeichnen, parallel zu einer der Quadratkanten. Dann solltest du ein Dreieck sehen das a/2, h und H enthält. H mit Pythagoras ausrechnen, h oder a aus dem Mantelformel einstzen und du hast V(a) oder V(h)
Noch ein Tip um das differenzieren zu vereinfachen: eine Wurzel ist maximal (oder Minimal) wenn der Radikant max oder min ist. du musst also keine Wurzeln differenzieren. Zur Kontrolle ich hab a=10 raus
> ges: Das Größtmöglichste Volumen welches man mit diesem
> Mantel erreichen kann.

Gruss leduart
Bezug
        
Bezug
max. Volumen b. Pyramide: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:24 Di 30.08.2005
Autor: dark_toaster

Vielen Dank erstmal für eure schnelle Hilfe,

hab heute etwas weitergerechnet und komm nun leider schon wieder nicht weiter..

geg: Am=173,25 m²
ges: Vmax

Am = 4 As (die 4 logischerweise gleich großen Seiten der Pyramide)
As = 1/2 a*h
173,25 = 4*(1/2a*h)   I/4
43,30 = 1/2a*h           I/h I*2

86,60
-------  = a
h

Dies hab ich in die Allgemeine Volumenformel eingesetzt



V=1/3(86,60/h) * h

V= 259,8/h²

Nun wollt ich eigentlich die erste Ableitung daraus bilden um den Extremwert von h herauszufinden um damit dann das maximale Volumen ausrechnen zu können. Nur wie bilde ich aus einem Bruch ne Ableitung ?



Bezug
                
Bezug
max. Volumen b. Pyramide: Falsches h
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:55 Di 30.08.2005
Autor: Loddar

Hallo dunkler Toaster ;-) ...

[willkommenmr] !!


Zunächstmal vorneweg: Du kannst Brüche mit der MBQuotientenregel ableiten.

Oder Brüche in der Form [mm] $\bruch{a}{x^n} [/mm] \ = \ [mm] a*x^{-n}$ [/mm] mit der MBPotenzregel !




Nun zu Deiner Aufgabe ...

Du vermischst hier zwei verschiedene Höhen!

Zum einen gibt es die Höhe der Pyramide (diese bezeichne ich mal mit $H$). Diese Höhe ist der lotrechte Abstand der Spitze zur Grundfläche.

Dann gibt es noch die Höhe der Seitenfläche, hier mal [mm] $h_s$ [/mm] genannt.
Diese Höhe ist eine Dreieckshöhe und gibt den Abstand der Spitze zu einer der Grundseiten an.


Für Deine Mantelfläche gilt also:

$173,205 \ = \ [mm] 4*A_{\Delta} [/mm] \ = \ [mm] 4*\bruch{a*h_s}{2}$ [/mm]

[mm] $\gdw$ [/mm]

[mm] $h_s [/mm] \ = \ [mm] \bruch{86,6025}{a}$ $\blue{(\star \star \star)}$ [/mm]



Nun betrachten wir den Schnitt (wie in leduart's Antwort genannt) durch die Pyramidenspitze parallel zur Grundseite.

Da haben wir dann zwei rechtwinklige Dreiecke mit der halbe Grundseite und der Pyramidenhöhe $H_$ als Katheten sowie der Seitenflächenhöhe [mm] $h_s$ [/mm] als Hypotenuse.

Nach dem "ollen Griechen" Pythagoras gilt also:

[mm] $\left(\bruch{a}{2}\right)^2 [/mm] + [mm] H^2 [/mm] \ = \ [mm] h_s^2$ [/mm]


Hier nun Gleichung [mm] $\blue{(\star \star \star)}$ [/mm] einsetzen und anschließend z.B. nach $H_$ umstellen.

Den entstehenden Wert dann in die Volumenformel der Pyramide einsetzen.


Kommst Du nun etwas weiter?

Gruß
Loddar

Bezug
                        
Bezug
max. Volumen b. Pyramide: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:44 Di 30.08.2005
Autor: dark_toaster

ARGH... Hab grad rausbekommen das nach meiner Rechnung die Pyramide ein max. Volumen von - 104640 m³ hat.  Da Ich glaube das Pyramiden meist ein sehr positives Volumen haben denk ich das ich noch immer einen Fehler in der Rechnung hab. Ach ja und danke nochmal an Loddar. Naja ich schreib mal meine Rechnung hin.

[mm] \wurzel{(86,30/a)² - (a/2)²}= [/mm] h

ich könnt mir vorstellen das ich jetz nen fehler gemacht hab

86,30/a - a/2 =h

alles in die Volumenformel eingesetzt:

V=1/3a²*(86,30a/3-a/2)

ausmultipliziert und erste ableitung gebildet:

V'(a)=86,30a/3 - a²/2  

das auf 0 gesetz, *6, +2a ,/2

ergab das a beim maximalen Volumen 86,3m lang ist. ???

a nun in die Volumenformel eingefügt

V=1/3(86,30)²*(1 -86,30/2)              (1 weil 86,30 /86,30)
V= -104640 m³

Verdammt die Sommerferien müssen mein Hirn ein wenige verbrannt haben  sonst bei den ergebnissen die ich rausbekomme (Fragt sich nur wie das Physikalisch bei dem miesen Wetter möglich war).

Ein verzweifelter Toaster benötigt ein weiteres mal eure Hilfe...

Danke im Vorraus


Bezug
                                
Bezug
max. Volumen b. Pyramide: Fehler bei der Wurzel !!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:08 Di 30.08.2005
Autor: Loddar

Hallo Toaster!


> ARGH... Hab grad rausbekommen das nach meiner Rechnung die
> Pyramide ein max. Volumen von - 104640 m³ hat.
> Da Ich glaube das Pyramiden meist ein sehr positives Volumen haben
> denk ich das ich noch immer einen Fehler in der Rechnung hab.

Das würde ich auch so sehen ;-) ...


> [mm]\wurzel{(86,30/a)² - (a/2)²}=[/mm] h

[ok]

  
> ich könnt mir vorstellen das ich jetz nen fehler gemacht hab

Richtig vorgestellt!


> 86,30/a - a/2 =h

[notok] [notok] Das ist falsch!!!

In der Regel gilt nicht : [mm] $\wurzel{x^2\pm y^2} [/mm] \ = \ x [mm] \pm [/mm] y$

Damit ist die nachfolgende Rechnung natürlich auch falsch ...


Gruß
Loddar

Bezug
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