matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 So 10.02.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo leute!
ich habe folgende aufgabe zu lösen:diagonalisieren sie folgende matrizen über [mm] \IR [/mm] mit orthonormalbasen bzgl. des standardskalarproduktes:
[mm] \pmat{ -3 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -3 }.wie [/mm] gehe ich da vor?ich habe keine ahnung.
danke und lieben gruß
|
|
| |
|
> hallo leute!
> ich habe folgende aufgabe zu lösen:diagonalisieren sie
> folgende matrizen über [mm]\IR[/mm] mit orthonormalbasen bzgl. des
> standardskalarproduktes:
> [mm]A:=\pmat{ -3 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -3 }.wie[/mm] gehe
> ich da vor?ich habe keine ahnung.
> danke und lieben gruß
Hallo,
zunächst einmal ist festzustellen, daß Du eine symmetrische Matrix vorliegen hast. Dies garantiert Dir, daß Du den Arbeitsauftrag ausführen kannst, denn für symmetrische Matrizen gibt es immer eine ONB aus Eigenvektoren.
Zunächst einmal bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren.
Da die Matrix symmetrisch ist, sind die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten "automatisch" orthogonal.
Den Rest (falls es einen gibt) kannst Du orthogonalisieren, und damit hast Du dann eine ONB aus Eigenvektoren gefunden, bzgl. derer die darstellende Matrix der durch A repräsentierten Abbildung eine Diagonalmatrix ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 So 10.02.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo angela!
danke für deine ausführliche erklärung!ich bin genauso vorgegangen wie du es gesagt hast,nun habe ich die eigenwerte -3 -5 und 0 heraus bekommen,diese habe ich in die [mm] formel:A+3*E=\pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 } [/mm] und [mm] A+5E=\pmat{ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 }
[/mm]
eingesetzt.mein eigenvektor ist dann einmal (1,0,-5) und (-1,2,-1)(bei denen ich nicht so genau wusste ob das so wie ichs gerechnet habe richtig ist).da du aber sagtest dass die eigenvektoren einer symmetrischen matrix orthogonal zueinander sind,muss ich doch irgendwas falsch gemacht haben oder?ich weiß aber nicht wo der fehler ist?
lieben gruß
|
|
|
| |
|
> hallo angela!
>
> danke für deine ausführliche erklärung!ich bin genauso
> vorgegangen wie du es gesagt hast,nun habe ich die
> eigenwerte -3 -5 und 0 heraus bekommen,diese habe ich in
> die [mm]formel:A+3*E=\pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 }[/mm]
> und [mm]A+5E=\pmat{ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 }[/mm]
>
> eingesetzt.
Hallo,
Deine Eigenwerte stimmen jedenfalls.
Von den obigenMatrizen brauchst Du nun den Kern.
Was genau schiefgelaufen ist, kann ich Dir nicht sagen, jedenfalls stimmen Deine Eigenvektoren nicht, wie Du auch schon selbst bemerkt hast.
Normalerweise würde man die Matrizen auf Zeilenstufenform bringen und dann eine Basis des Lösungsraumes angeben. Vielleicht ist Dir bei der ZSF ein Fehler passiert.
Versuch's einfach nochmal, wenn's dann nicht klappt, rechne vor.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 So 10.02.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo angela!
danke für die hilfe!also bei der ZS umformung für den kern habe ich jetzt,einmal sowas [mm] wie:\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] heraus und : [mm] \pmat{ 0 & -5 & 0 \\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 } [/mm] heraus.aber wie erkenne ich den eigenvektor hieraus?
gruß
|
|
|
| |
|
Hallo mini,
> hallo angela!
>
> danke für die hilfe!also bei der ZS umformung für den kern
> habe ich jetzt,einmal sowas [mm]wie:\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> heraus und : [mm]\pmat{ 0 & -5 & 0 \\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> heraus.aber wie erkenne ich den eigenvektor hieraus?
Poste doch mal die einzelnen Schritte, wie Du auf diese Matrizen gekommen bist. Dann können wir besser sehen, wo der Fehler passiert ist.
> gruß
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Mo 11.02.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo mathepower!
danke für die antwort.
ich stelle jetzt mal meinen rechenweg von dem einen teil rein,irgendetwas muss ich ja total falsch [mm] machen!\pmat{ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 },die [/mm] letzte und 1.zeile mult.-1 & addiere ich zusammen dann habe ich : [mm] \pmat{ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] dann mult.ich die 2.zeile mit -2 und addiere sie zur 1. [mm] \pmat{ 0 & -5 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] und dann hat man ja : [mm] \pmat{ 0 & -5 & 0 \\ 5 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
wie erkenn ich jetzt hieraus den eigenvektor?
lieben gruß
|
|
|
| |
|
> und dann hat man ja : [mm]\pmat{ 0 & -5 & 0 \\ 5 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
Hallo,
da ich nicht so geübt bin, bringe ich mir das immer richtig in Zeilenstufenform:
[mm] \pmat{ 0 & -5 & 0 \\ 5 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 5 & 0 & 5 \\ 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } -->\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }.
[/mm]
Man sieht: der Rang der Matrix ist 2, also hat der Kern die Dimension 3-2=1.
Man kann also eine Variable frei wählen.
Der zweiten Zeile entnehme ich y=0.
In der ersten Zeile wähle ich [mm] z=\lambda.
[/mm]
Dann ist [mm] x=-\lambda.
[/mm]
Insgesamt hat mein Lösungsvektor die Gestalt [mm] \vektor{x \\ y\\z}=\vektor{-\lambda \\ 0\\ \lambda}=\lambda \vektor{-1 \\ 0\\1}
[/mm]
(Dies war jetzt eine "ganz normale" Berechnung des Kerns einer Matrix.)
Also wird der Eigenraum zu -5 aufgespannt vom [mm] \vektor{-1 \\ 0\\1}, [/mm] welcher ein Eigenvektor der Matrix $ [mm] \pmat{ -3 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -3 } [/mm] zum EW -5 ist, wovon Du Dich rechnend überzeugen kannst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Mo 11.02.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo angela!
danke!du sagtest ja, dass man eine variable frei wählen darf da die dimension des kernes 1 ist,wenn sie jetzt 2 gewesen wäre,dürfte ich dann 2 variablen wählen?dann habe ich ja noch die matrix mit dem eigenwert [mm] -5:\pmat{ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 } [/mm] umgeformt,da kam [mm] dann:\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] heraus,ich hoffe das ist erstmal richtig.aber so ganz versteh ich noch nicht wie du den eigenvektor hieraus bestimmst?
gruß
|
|
|
| |
|
>du sagtest ja, dass man eine variable frei wählen
> darf da die dimension des kernes 1 ist,wenn sie jetzt 2
> gewesen wäre,dürfte ich dann 2 variablen wählen?
Ja.
dann habe
> ich ja noch die matrix mit dem eigenwert [mm]-5:\pmat{ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 }[/mm]
> umgeformt,da kam [mm]dann:\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> heraus
???
Dem kann ich nicht folgen.
Es ist auch keine Zeilenstufenform, die solltest Du aber anstreben, da man dann das GS bequemer lösen kann.
Wie gesagt: die Bestimmung des Eigenvektors zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] eienr Matrix A ist nichts anderes als die Ermittlung des Kerns von [mm] A-\lambda [/mm] E.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Mo 11.02.2008 | | Autor: | mini111 |
ooh entschuldigung,habe die falsche matrix rein gesetzt.das ist die matrix zum eiegenwert -3 und [mm] zwar:\pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 } [/mm] und für diese ist die [mm] umformung:\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
gruß
|
|
|
| |
|
> ooh entschuldigung,habe die falsche matrix rein gesetzt.das
> ist die matrix zum eiegenwert -3 und [mm]zwar:\pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 }[/mm]
> und für diese ist die [mm]umformung:\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
Ist bei Euch die Zeilenstufenform anders als an anderne Stellen, an denen Mathematik gelehrt wird?
Deine Stufen sind ja hinten - im Prinzip muß einen das nicht verdrießen, man könnte damit genauso rechnen, aber es ist in höchstem Maße ungewöhnlich.
Ich würde nun folgenden Schritt anschließen:
--> [mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Dies entspricht ja dem GS
x-z=0
-y-2z=0.
Kannst Du das lösen?
Man kann eine Variable frei wählen, ich sage [mm] z:=\lambda.
[/mm]
Kannst Du jetzt x und y berechnen?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Mo 11.02.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo!
stimmt ist ja eigentlich total einfach,also habe ich dann den eigenvektor zum eigenwert -3 [mm] :\lambda\pmat{ 1 \\ -2 \\ 1 },ok [/mm] nun ist die aufgabe damit doch aber noch nicht gelöst.ich verstehe nicht was orthonormalbasen sein sollen.
danke und gruß
|
|
|
| |
|
>also habe ich dann
> den eigenvektor zum eigenwert -3 [mm][mm] :\lambda\pmat{ 1 \\ -2 \\ 1 }
[/mm]
Ja.
Und den zu 0 findest Du sicher auch noch.
>ich
> verstehe nicht was orthonormalbasen sein sollen.
Das ist eine Basis, deren Vektoren alle die Länge 1 haben, und deren Vektoren paarweise aufeinander senkrecht stehen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Mo 11.02.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo angela!
danke nochmal.
der dritte eigenvektor zum eigenwert 0 [mm] lautet:\lambda*\pmat{ 1 \\ 1 \\1 },so [/mm] nun habe ich die 3 eigenvektoren,jetzt sagtest du ja,dass diese paarweise orthogonal zueinander sein müssten,trifft ja [mm] zu:\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 }*\pmat{ -1 \\ 0 \\ 1 }*\pmat{ 1 \\ 0 \\1 }=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 },aber [/mm] was meinst du mit der länge 1?und ist die aufgabe damit schon gelöst?was heißt außerdem "diagonalisieren sie..."?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Mo 11.02.2008 | | Autor: | grrmpf |
Länge 1 eines Vektors bedeutet, dass die Norm des Vektors gleich 1 ist [mm] (\parallel [/mm] v [mm] \parallel=1). [/mm] Da ihr mit dem Standardskalarprodukt rechnet, ist bestimmt die euklidische Norm gemeint, mit der man auch in der Schule rechnet. Wenn [mm] v=(x,y,z)^{T} [/mm] ist [mm] \parallel [/mm] v [mm] \parallel=\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. [/mm] Und wenn du einen Vektor beliebiger Länge hast, kannst du diesen normieren, indem du den Vektor (also jeweils die einzelnen Komponenten) durch die Norm des Vektors teilst, also [mm] v_{normiert}=(x/\parallel [/mm] v [mm] \parallel, y/\parallel [/mm] v [mm] \parallel, z/\parallel [/mm] v [mm] \parallel)^{T}.
[/mm]
Diagonalisieren bedeutet, dass du die Matrix in Diagonalform umformen sollst (hier mittels Orthonormalbasen). Diagonalform:
[mm] \pmat{ a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c }.
[/mm]
Mathematisch korrekt:
[mm] a_{i,j}=0 [/mm] für [mm] i\not=j
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:57 Mo 11.02.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo!
danke für deine hilfe.habe ich das richtig verstanden dass ich diese [mm] matrix:\pmat{ -3 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -3 } [/mm] mit den orthonormal [mm] basen:\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 },\pmat{ -1\\ 0 \\ 1 },\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] diagonalisieren soll??
gruß
|
|
|
| |
|
> hallo angela!
> danke nochmal.
> der dritte eigenvektor zum eigenwert 0
> [mm]lautet:\lambda*\pmat{ 1 \\ 1 \\1 },
Hallo,
ja.
so[/mm] nun habe ich die 3
> eigenvektoren,jetzt sagtest du ja,dass diese paarweise
> orthogonal zueinander sein müssten,trifft ja [mm]zu:\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 }*\pmat{ -1 \\ 0 \\ 1 }*\pmat{ 1 \\ 0 \\1 }=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 },aber[/mm]
Momentchen mal, was hast Du hier denn jetzt für Vektoren? Der zum EW -3 war doch [mm] \pmat{ 1 \\ -2 \\ 1 }, [/mm] wenn ich nicht vollends den Faden verloren habe.
Du mußt nun also über [mm] (\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 },\pmat{ -1\\ 0 \\ 1 },\pmat{ 1 \\ -2 \\ 1 }) [/mm] nachdenken.
> paarweise
> orthogonal zueinander sein müssten,trifft ja [mm][mm] zu:\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 }*\pmat{ -1 \\ 0 \\ 1 }*\pmat{ 1 \\ 0 \\1 }=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
Was rechnest Du um Himmelswillen denn hier?
Wie erkennt man, da0 zwei Vektoren orthogonal sind?
Du mußt jeweils
[mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] und [mm] \pmat{ -1\\ 0 \\ 1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 }und \pmat{ 1 \\ -2 \\ 1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ -1\\ 0 \\ 1 }und \pmat{ 1 \\ -2 \\ 1 }
[/mm]
auf Orthogonalität prüfen.
Dann weißt Du, daß [mm] (\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 },\pmat{ -1\\ 0 \\ 1 },\pmat{ 1 \\ -2 \\ 1 }) [/mm] eine Orthogonalbasis aus Eigenvektoren ist. Es ist aber keine OrthoNORMalbasis.
Um diese zu erhalten mußt Du normieren, indem Du, wie grmpf Dir sagt, jeweils durch die Länge dividierst.
Wenn Du das dann hast, hast Du eine ONB aus Eigenvektoren,
bzgl derer die durch [mm] \pmat{ -3 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -3 } [/mm] repräsentierte Abbildung die Darstellungsmatrix [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & -3 } [/mm] hat.
Wenn B die Matrix ist, die die orthonormierten Basisvektoren als Spalten enthält,
dann ist - sofern alles richtig gerechnet wurde -
[mm] B^{-1}\pmat{ -3 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -3 }B=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & -3 }
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Mo 11.02.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo angela,
entschuldige,ich habe mich vertippt bei dem einen vektor.ich habe jetzt die normierten vektoren der eigenvektoren berechnet.ich hoffe das ist richtig!!also da kam dann sowas wie [mm] \pmat{ 1/\wurzel{3} \\ 1/\wurzel{3}\ \\1/ \wurzel{3} } [/mm] für den eigenvektor (1,1,1) heraus.für die anderen habe ich das selbe gemacht.das sind schon wieder merkwüdige zahlen,deshalb wollt ich nochmal sicher gehen ob das so stimmt?
gruß
|
|
|
| |
|
> Ich habe jetzt die normierten vektoren der
> eigenvektoren berechnet.ich hoffe das ist richtig!!also da
> kam dann sowas wie [mm]\pmat{ 1/\wurzel{3} \\ 1/\wurzel{3}\ \\1/ \wurzel{3} }[/mm]
> für den eigenvektor (1,1,1) heraus.für die anderen habe ich
> das selbe gemacht.das sind schon wieder merkwüdige
> zahlen,
Hallo,
das stimmt schon. So'n kleines Würzelchen ist doch 'ne normale Zahl für unsereins...
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:50 Di 12.02.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo
danke nochmal,ich hoffe ich habe dich richtig verstanden,heißt dass das du diese ONB [mm] matrix:\pmat{ 1/\wurzel{3} & -1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{6} \\ 1\wurzel{3} & 0 & -2/\wurzel{6} \\ 1/\wurzel{3} & 1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{6}},die [/mm] ja aus den normierten eigenvektoren besteht,zu dieser,die du angegeben [mm] hast,umformst:\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 &-3 } [/mm] oder ist das vielleicht eimfach nur die matrix,die aus -den eigenwerten*einheitsmatrix besteht?stell ich mich grad sehr blöd an?
gruß
|
|
|
| |
|
> hallo
> danke nochmal,ich hoffe ich habe dich richtig
> verstanden,heißt dass das du diese ONB [mm]matrix:
Halllo,
das ist die Orthogonalmatrix B, deren Spalten die Vektoren der berechneten Orthonormalbasis aus Eigenvektoren enthält.
> \pmat{ 1/\wurzel{3} & -1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{6} \\ 1\wurzel{3} & 0 & -2/\wurzel{6} \\ 1/\wurzel{3} & 1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{6}},die[/mm]
> ja aus den normierten eigenvektoren besteht,zu dieser,die
> du angegeben [mm]hast,umformst:\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 &-3 }[/mm]
Nein, Du kannst die nicht in diese Diagonalmatrix "umformen", das ist ja schon deshalb absurd, weil diese Diagonalmatrix nur den Rang 2 hat.
Was die Matrix tut, hatte ich ja hier beschrieben.
> oder ist das vielleicht eimfach nur die matrix,die aus -den
> eigenwerten*einheitsmatrix besteht?stell ich mich grad sehr
> blöd an?
Die gesuchte und gefundene Matrix ist die Diagonalmatrix, die auf der Diagonalen die Eigenwerte der Startmatrix hat.
Diese Diagonalmatrix beschreibt dieselbe Abbildung wie die Ursprungsmatrix, jedoch bzgl. der zur Abbildung passend gewählten Basis B.
> stell ich mich grad sehr blöd an?
Als "sehr blöd" würde ich das nicht bezeichnen. Ich würde es mit "weitgehend uninformiert" benennen.
Ich habe den Eindruck, daß Du noch nicht verstanden hast, was Basistransformationen sind, und mit welchem Ziel man hier eine solche durchführt.
Du solltest das Thema gründlich nacharbeiten, denn die korrekte Durchführung der Rechenschritte ist nur eine Seite der Medaille. Spätestens an dem Tag, an welchem Du mündlich zum Thema befragt wirst, müßtest Du auch wissen, worum es geht.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
