matrixbestimmung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Mo 27.04.2009 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, B [mm] \in [/mm] M(nxn;K) und f : M(nxn;K) [mm] \to [/mm] M(nxn;K) die durch f(A) = BA definierte Abbildung.
1. Bestimme eine Matrix C von f.
2. Zeige, dass det C = (det [mm] B)^{n}. [/mm] |
hallo,
ich da ein großes problem mit der aufgabe, um genau zu sein bin ich etwas überfordert.meine C matrix muss doch als spaltenvektoren die basen der abbildung enthalten ,oder? ein kleiner denkanstoß wäre nicht schlecht.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:27 Di 28.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei K ein Körper, B [mm]\in[/mm] M(nxn;K) und f : M(nxn;K) [mm]\to[/mm]
> M(nxn;K) die durch f(A) = BA definierte Abbildung.
> 1. Bestimme eine Matrix C von f.
> 2. Zeige, dass det C = (det [mm]B)^{n}.[/mm]
>
> hallo,
> ich da ein großes problem mit der aufgabe, um genau zu
> sein bin ich etwas überfordert.meine C matrix muss doch als
> spaltenvektoren die basen der abbildung enthalten ,oder?
> ein kleiner denkanstoß wäre nicht schlecht.
Ich glaub genau diese Aufgabe hatten wir schonmal.
Vielleicht erstmal ein Beispiel: naemlich der Fall $n = 2$.
Die einfachste Basis von $M(2 [mm] \times [/mm] 2; K)$ ist wohl [mm] $A_1 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }$, $A_2 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }$, $A_3 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }$ [/mm] und [mm] $A_4 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }$.
[/mm]
Jetzt musst du [mm] $f(A_1), \dots, f(A_4)$ [/mm] bestimmen und das Ergebnis jeweils als Linearkombination von [mm] $A_1, \dots, A_4$ [/mm] schreiben.
Ist etwa $B = [mm] \pmat{ b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} }$, [/mm] so ist [mm] $f(A_1) [/mm] = B [mm] A_1 [/mm] = [mm] \pmat{ b_{11} & 0 \\ b_{21} & 0 } [/mm] = [mm] b_{11} A_1 [/mm] + [mm] b_{21} A_2$, $f(A_2) [/mm] = B [mm] A_3 [/mm] = [mm] \pmat{ b_{12} & 0 \\ b_{22} & 0 } [/mm] = [mm] b_{12} A_1 [/mm] + [mm] b_{22} A_2$, $f(A_3) [/mm] = B [mm] A_2 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & b_{11} \\ 0 & b_{21} } [/mm] = [mm] b_{11} A_3 [/mm] + [mm] b_{21} A_4$ [/mm] und [mm] $f(A_4) [/mm] = B [mm] A_4 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & b_{12} \\ 0 & b_{22} } [/mm] = [mm] b_{12} A_3 [/mm] + [mm] b_{22} A_4$.
[/mm]
Damit ist $C = [mm] \pmat{ b_{11} & b_{12} & 0 & 0 \\ b_{21} & b_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b_{11} & b_{12} \\ 0 & 0 & b_{21} & b_{22} }$.
[/mm]
Hier kommt man schnell auf [mm] $\det [/mm] C = [mm] (\det B)^2$.
[/mm]
So. Und jetzt versuch das mal allgemeiner zu machen. Kannst du eine Basis von $M(n [mm] \times [/mm] n; K)$ angeben? Wie sieht die Matrix von $f$ bzgl. dieser Basis aus?
LG Felix
|
|
|
|
